Endliche Von-Neumann-Algebra

Endliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um Von-Neumann-Algebren, deren Projektionen einer gewissen Endlichkeitsbedingung genügen.

Definitionen

Es sei eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum . Projektionen sind Elemente aus mit der Eigenschaft . Den Arbeiten von Murray und von Neumann über die heute sogenannten Von-Neumann-Algebren lag die Idee zu Grunde, Projektionen in Analogie zu Mengen zu untersuchen. Die Äquivalenz zweier Projektionen wird in Analogie zur Gleichmächtigkeit von Mengen definiert: und heißen äquivalent, wenn es ein gibt mit und ; man schreibt . Der Teilmengenbeziehung entspricht die Teilmengenbeziehung der projizierten Räume, das heißt man definiert als . Da eine Menge genau dann endlich ist, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, definiert man im Sinne der hier verfolgten Analogie:

Eine Projektion heißt endlich, falls nur für möglich ist. Man beachte, dass dieser Endlichkeitsbegriff von abhängt, da der Äquivalenzbegriff von abhängt.

Eine Von-Neumann-Algebra heißt endlich, wenn das Einselement als Projektion aus endlich ist.

Beispiele

  • Abelsche Von-Neumann-Algebren sind endlich, denn für diese ist die Äquivalenz von Projektionen mit deren Gleichheit gleichbedeutend.
  • Die endlichdimensionalen Algebren über einem endlichdimensionalen Hilbertraum sind endlich, denn äquivalente Projektionen haben gleiche Dimension.
  • Die Algebra über dem Folgenraum ist nicht endlich, denn ist der Shiftoperator, so ist .
  • Es sei eine diskrete Gruppe. Jedes Element operiert als Linksoperator und als Rechtsoperator auf dem Hilbertraum in dem man und definiert. Es seien und die von bzw. erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind und endlich und gegenseitige Kommutanten.[1]

Die Spur auf einer endlichen Von-Neumann-Algebra

Ist eine endliche Von-Neumann-Algebra mit Zentrum , so gibt es genau eine lineare Abbildung mit folgenden Eigenschaften[2][3]:

  • ist positiv, das heißt aus folgt
  • ist eine Spur, das heißt für alle
  • ist eine Projektion auf , das heißt für alle .

Die eindeutig bestimmte Spur heißt die kanonische Spur auf . Sie hat zusätzlich folgende Eigenschaften:

  • ist strikt positiv, das heißt folgt
  • ist -Morphismus, das heißt für alle .
  • ist eine Kontraktion, das heißt für alle
  • ist ultraschwach stetig.

Ist umgekehrt eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum und einer strikt positiven Spur , so ist endlich. Ist nämlich , so gibt es mit und . Daraus folgt und wegen der Spureigenschaft und dann wegen der strikten Positivität. Daher ist jede Projektion in endlich, woraus sich die Endlichkeit von ergibt.

Weitere Charakterisierungen

Typen endlicher Von-Neumann-Algebren

In der Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren sind genau die Typ In Algebren mit und die Typ II1 Algebren endlich.

Unitäre Äquivalenz von Projektionen

Zwei Projektionen einer Von-Neumann-Algebra heißen unitär äquivalent, wenn es ein unitäres Element (d. h. ) gibt mit . Aus der unitären Äquivalenz folgt die gewöhnliche, oben definierte Äquivalenz, denn aus der definierenden Gleichung folgt und . Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn Äquivalenz und unitäre Äquivalenz übereinstimmen.[4]

Stetigkeit der Involution

Die Involution auf einer Von-Neumann-Algebra ist im Allgemeinen nicht stetig bzgl. der starken Operatortopologie, wie man am Beispiel des unilateralen Shiftoperators zeigen kann, denn für alle gilt , aber , was für von 0 verschiedenes nicht gegen 0 konvergiert. In endlichen Von-Neumann-Algebren kann so etwas nicht passieren.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn die Involution auf allen beschränkten Mengen stark-stetig ist.[5]

Einzelnachweise

  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.4
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.2.8
  3. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.4 Existence and uniqueness theorems for operator traces
  4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.9.11.
  5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Korollar 5.4.13