Endliche Präsentierbarkeit (Banachraum)

Die endliche Präsentierbarkeit ist ein mathematisches Konzept, das in der Untersuchung der Banachräume Anwendung findet. Die Grundidee besteht darin, einen Banachraum über die in ihm enthaltenen endlich-dimensionalen Teilräume zu untersuchen.

Definition

Ein normierter Raum ${\displaystyle F}$ heißt endlich präsentierbar in einem normierten Raum ${\displaystyle E}$, wenn es zu jedem endlich-dimensionalen Untervektorraum ${\displaystyle U\subset F}$ und jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ einen Teilraum ${\displaystyle V\subset E}$ und einen linearen Isomorphismus ${\displaystyle T:U\rightarrow V}$ gibt mit ${\displaystyle \|T\|\cdot \|T^{-1}\|<1+\epsilon }$.

Dabei berechnen sich die Operatornormen ${\displaystyle \|T\|}$ und ${\displaystyle \|T^{-1}\|}$ bezüglich der auf ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ induzierten Teilraum-Normen.

${\displaystyle F}$ ist also endlich präsentierbar in ${\displaystyle E}$, wenn jeder endlich-dimensionale Teilraum von ${\displaystyle F}$ bis auf ein ${\displaystyle \epsilon }$ auch in ${\displaystyle E}$ vorkommt. Mit dem Begriff des Banach-Mazur-Abstandes kann man das auch so formulieren, dass man zu jedem endlich-dimensionalen Teilraum ${\displaystyle U\subset F}$ endlich-dimensionale Teilräume in ${\displaystyle E}$ mit beliebig kleinem Banach-Mazur-Abstand zu ${\displaystyle U}$ finden kann.

Unterräume von Banachräumen sind in diesen endlich präsentierbar. Die Eigenschaft der endlichen Präsentierbarkeit ist transitiv, das heißt: Ist ${\displaystyle F}$ endlich präsentierbar in ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle G}$ endlich präsentierbar in ${\displaystyle F}$, so ist ${\displaystyle G}$ endlich präsentierbar in ${\displaystyle E}$.

Beispiele

• L^p([0,1]) ist endlich präsentierbar im Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{p},\,1\leq p<\infty }$.
• ${\displaystyle \ell ^{p},\,p>2}$ ist nicht endlich präsentierbar in ${\displaystyle L^{q}(X,\mu ),\,1\leq q\leq 2}$.
• Der Funktionenraum ${\displaystyle C([0,1])}$ ist endlich präsentierbar in c₀ und umgekehrt.

Satz von Dvoretzky

Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable Banachraum isometrisch isomorph zu einem Unterraum von ${\displaystyle C([0,1])}$. Daher ist jeder Banachraum endlich präsentierbar in ${\displaystyle C([0,1])}$, das heißt ${\displaystyle C([0,1])}$ ist maximal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit. Der Satz von Dvoretzky (nach Aryeh Dvoretzky) sagt aus, dass Hilberträume minimal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit sind:

• Satz von Dvoretzky: Jeder Hilbertraum ist in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar.

Die Eigenschaft, in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar zu sein, charakterisiert die Hilberträume. Ist nämlich ${\displaystyle E}$ in jedem Banachraum endlich präsentierbar, so auch in ${\displaystyle \ell ^{2}}$, und man zeigt leicht, dass in ${\displaystyle E}$ die Parallelogrammgleichung gelten muss; daher ist ${\displaystyle E}$ nach dem Satz von Jordan-von Neumann ebenfalls ein Hilbertraum.

Super-Eigenschaften

Es sei P eine Eigenschaft, die ein Banachraum haben kann. Man sagt, ein Banachraum ${\displaystyle E}$ sei (bzw. habe) super-P, falls jeder Banachraum, der in ${\displaystyle E}$ endlich präsentierbar ist, ebenfalls die Eigenschaft P hat. Wenn ein Banachraum eine Super-Eigenschaft hat, dann muss nach dem Satz von Dvoretzky auch jeder Hilbertraum diese Eigenschaft haben.

Ist ${\displaystyle E}$ ein gleichmäßig konvexer Raum und ${\displaystyle F}$ endlich präsentierbar in ${\displaystyle E}$, so ist auch ${\displaystyle F}$ gleichmäßig konvex. Gleichmäßige Konvexität ist also eine Super-Eigenschaft, das heißt ein gleichmäßig konvexer Raum ist bereits super-gleichmäßig konvex.

Super-Reflexivität

Da gleichmäßig konvexe Räume nach dem Satz von Milman reflexiv sind und da gleichmäßige Konvexität eine Super-Eigenschaft ist, sind gleichmäßig konvexe Räume super-reflexiv. Reflexivität selbst ist keine Super-Eigenschaft, das heißt Reflexivität und Super-Reflexivität sind nicht äquivalent. Super-Reflexivität wird durch den folgenden Satz von Per Enflo charakterisiert:

• Ein Banachraum ist genau dann super-reflexiv, wenn es eine äquivalente Norm gibt, die ihn zu einem gleichmäßig konvexen Raum macht.

Da gleichmäßig konvexe Räume nach einem Satz von Shizuo Kakutani die Banach-Saks-Eigenschaft haben, folgt daraus:

• Super-reflexive Räume haben die Banach-Saks-Eigenschaft.

Daher folgt aus der Super-Reflexivität die Super-Banach-Saks-Eigenschaft; man kann sogar zeigen:

• Super-Reflexivität und die Super-Banach-Saks-Eigenschaft sind äquivalent.

Prinzip der lokalen Reflexivität

Nach einem Satz von Joram Lindenstrauss und Haskell Rosenthal ist der Bidual eines Banachraums ${\displaystyle E}$ stets endlich präsentierbar in ${\displaystyle E}$. Dieses sogenannte Prinzip der lokalen Reflexivität wird zur folgenden genaueren Aussage verschärft:

• Sei ${\displaystyle E}$ ein Banachraum, ${\displaystyle U\subset E\,''}$ und ${\displaystyle V\subset E\,'}$ seien endlich-dimensionale Teilräume und es sei ${\displaystyle \epsilon >0}$. Dann gibt es einen injektiven, stetigen, linearen Operator ${\displaystyle T:U\rightarrow E}$ mit:

1. ${\displaystyle \|T\|\cdot \|T^{-1}|_{T(U)}\|\,<\,1+\epsilon }$
2. ${\displaystyle T|_{U\cap E}=\mathrm {id} _{U\cap E}}$
3. ${\displaystyle f(Tu)\,=\,u(f)}$ für alle ${\displaystyle u\in U,f\in V}$

Literatur

• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York u. a. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
• Joram Lindenstrauss, Haskell Paul Rosenthal: The L^p-spaces. In: Israel Mathematical Journal. Band 7, 1969, S. 325–349.
• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 2. Auflage. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87878-5.
• Per Enflo: Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm. In: Israel Mathematical Journal. Band 13, 1972, S. 281–288.