Ende (Kategorientheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Ende ein spezieller Limes.

Definition

Es seien ${\displaystyle {\mathcal {C}};{\mathcal {D}}}$ Kategorien, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ die zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ duale Kategorie und schließlich ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ein Funktor.

Ein Ende von ${\displaystyle F}$ ist ein Paar ${\displaystyle (E;\pi )}$, bestehend aus einem Objekt ${\displaystyle E\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}$ und einer ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$-indizierten Familie von Pfeilen ${\displaystyle \pi _{X}\colon E\to F(X,X)}$, Projektionen genannt, derart, dass für alle Objekte ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$ und Morphismen ${\displaystyle h\in {\mathcal {C}}(X,Y)}$ das Diagramm

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!F(X,X)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle F(X,h)\\F(Y,Y)&{\xrightarrow[{F(h,Y)}]{}}&F(X,Y)\end{array}}}$

kommutiert. (Kurz: ${\displaystyle \pi }$ ist eine dinatürliche Transformation ${\displaystyle \Delta E\to F}$.)

Ein Ende ist zudem universell, das heißt für jedes alternative ${\displaystyle E'}$ mit entsprechenden Projektionen ${\displaystyle \pi '_{X}\colon E'\to F(X,X)}$ gibt es einen eindeutig bestimmten Pfeil ${\displaystyle k\colon E'\to E}$, sodass ${\displaystyle \pi _{X}\circ k=\pi '_{X}}$ für alle ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$ gilt.

Notation

Eine gebräuchliche Schreibweise für ein Ende von ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ist

${\displaystyle E\cong \int _{X\in {\mathcal {C}}}F(X,X)}$.

Beispiel

Für lokal kleine Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$ seien Funktoren ${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ gegeben. Die Menge der natürlichen Transformationen von ${\displaystyle F}$ nach ${\displaystyle G}$ ist nun gerade ein Ende des Funktors ${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$, der durch ${\displaystyle T(X,Y)={\mathcal {D}}(FX,GY)}$ erklärt ist, wobei ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-,-)}$ den Hom-Funktor von ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ bezeichne.

Obiges Diagramm ist hier

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!{\mathcal {D}}(FX,GX)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle {\mathcal {D}}(FX,Gh)\\{\mathcal {D}}(FY,GY)&{\xrightarrow[{{\mathcal {D}}(Fh,GY)}]{}}&{\mathcal {D}}(FX,GY).\end{array}}}$

Die Projektionen des Endes ordnen jeder natürlichen Transformation ${\displaystyle \psi \in E}$ eine Komponente ${\displaystyle \psi _{X}=\pi _{X}(\psi )\in {\mathcal {D}}(FX,GX)}$ zu. Auf der Ebene der Elemente von ${\displaystyle E}$ sagt das Diagramm also aus, dass für Komponenten ${\displaystyle \psi _{X}}$ und ${\displaystyle \psi _{Y}}$

${\displaystyle Gh\circ \psi _{X}=\psi _{Y}\circ Fh}$

gilt. Die Universalität stellt sicher, dass ${\displaystyle E}$ alle natürlichen Transformationen enthält.

Dieses Beispiel kann auch als eine Definition von natürlichen Transformationen interpretiert werden. Die Definition ist in dieser Form leicht auf angereicherte Kategorien und Funktoren verallgemeinerbar.

Literatur

• G. M. Kelly: Basic Concepts of Enriched Category Theory. In: Lecture Notes in Mathematics 64. Cambridge University Press, 1982 (mta.ca [abgerufen am 8. März 2014]). 

Weblinks

• end, Eintrag im nLab. (englisch)