Elo-Zahl

Schach
Go

Die Elo-Zahl ist eine Wertungszahl, die die Spielstärke von Schach- und Gospielern beschreibt. Das Konzept wurde inzwischen für verschiedene weitere Sportarten adaptiert.

Ausgehend vom Bradley-Terry Modell – benannt nach R. A. Bradley und M. E. Terry,[1] die es im Jahr 1952 präsentierten[2] –, das wiederum auf einer Arbeit von Ernst Zermelo aus den 1920er Jahren basiert,[3][4][5] entwickelte Arpad Elo 1960 ein objektives Wertungssystem für den US-amerikanischen Schachverband USCF. Es wurde 1970 auf dem Kongress in Siegen vom Weltschachverband FIDE übernommen. Der Weltschachverband nennt sein System „FIDE rating system“. Eine Wertungszahl heißt offiziell „FIDE rating“, wird umgangssprachlich aber zumeist einfach als „Elo-Zahl“ bezeichnet. Neben dem internationalen Wertungssystem der FIDE existieren auch nationale Wertungssysteme mit unterschiedlichen Namen. In Deutschland heißt das nationale Wertungssystem DWZ, in Österreich werden (nationale) Elo-Zahlen berechnet und in der Schweiz gibt es eine Führungsliste mit Führungszahlen. Diese Systeme werten wesentlich mehr lokale Turniere aus, berechnen die Wertungszahlen aber ebenso nach den Methoden von Arpad Elo mit meist nur geringen Modifikationen und abweichenden Faktoren.

Berechnung

Grundprinzip

Jedem Spieler ist eine Elo-Zahl R (von englisch rating) zugeordnet. Je stärker der Spieler, desto höher die Zahl. Treten mehrere Spieler gegeneinander an, so lässt sich aus den Elo-Zahlen der Spieler die erwartete Punktezahl der jeweiligen Spieler bestimmen. Nach der Begegnung wird das Elo-Rating der Spieler ihren Ergebnissen angepasst. Je nach Diskrepanz zwischen Erwartungswert und Ergebnis gewinnt ein Spieler Elo-Rating-Punkte hinzu oder verliert sie. Das System ist so konstruiert, dass Elo-Rating-Punkte unter den beteiligten Spielern umverteilt werden.

Wenn ein Spieler noch keine Elo-Zahl hat, zum Beispiel als Neuling, wird seine Elo-Zahl geschätzt.

Erwartungswert

Bei einer Begegnung zweier Spieler gibt es für einen Sieg einen, für ein Unentschieden einen halben und für eine Niederlage keinen Punkt. Die erwartete Punktezahl ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler gewinnt, plus die halbe Wahrscheinlichkeit für ein Remis. Dieser Erwartungswert wird aus dem Rating wie folgt berechnet:

RA−RBEAEB
00,500,50
1000,640,36
2000,760,24
3000,850,15
4000,910,09
: erwarteter Punktestand für Spieler A
: bisherige Elo-Zahl von Spieler A
: bisherige Elo-Zahl von Spieler B

Entsprechend gilt für den erwarteten Punktestand für Spieler B

Hierbei gilt stets[Anm. 1]

Die in der Formel enthaltene Zahl 400 wurde von Arpad Elo so gewählt, dass die Elo-Zahlen mit den Wertungszahlen des früher verwendeten Rating-Systems von Kenneth Harkness möglichst gut kompatibel sind. Tatsächlich kann man das Harkness-Modell als eine stückweise lineare Approximation an das Elo-Modell auffassen. Beträgt der Wertungsunterschied mehr als 400 Punkte, so wird anstelle der tatsächlichen Differenz der Wert 400 bzw. −400 benutzt.[6]

Die Gewinnerwartung eines Spielers als Funktion der Punktedifferenz folgt in Elos Modell einer logistischen Funktion. Um einem Missverständnis vorzubeugen: Das heißt jedoch nicht, dass die Spielstärken als logistisch verteilte Zufallsvariablen modelliert sind, dies ist nämlich nicht der Fall – die für Elos Modell charakteristische Eigenschaft der Multiplikativität der Erwartungswerte (s. u.) lässt sich nämlich nicht aus der Annahme einer logistischen Verteilung (oder einer Normalverteilung) der Spielstärken ableiten. (Man kann natürlich eine Verteilung konstruieren, sodass genau diese Eigenschaft erfüllt ist, es gibt aber keine plausible Erklärung dafür, weshalb die Spielstärken diesem Zufallsmechanismus folgen sollten. Es ist daher sinnvoller, die Multiplikativität als Ausgangspunkt der Modellierung anzusetzen und auf eine Verteilungsannahme zu verzichten.)

Multiplikativität der Erwartungswerte

Die Erwartungswerte sind multiplikativ. Wenn etwa Spieler A gegenüber Spieler B ein 3:1-Favorit ist (d. h., A erzielt in Partien gegen B 75 % der Punkte) und B gegenüber C ein 2:1-Favorit, so fordert bzw. folgt aus Elos Modell, dass A gegenüber C ein 6:1-Favorit ist.

Allgemein: Ist A ein x:1-Favorit gegenüber B und B ein y:1-Favorit gegenüber C, so ist gemäß Elos Modell A ein xy:1-Favorit gegenüber C.

Dies kann man leicht nachrechnen. Die Multiplikativität ist aber keine Konsequenz aus einer Normalverteilung – man liest zwar oft, dass das Elo-Modell von einer Normalverteilung ausgeht, doch genügt diese Annahme nur in sehr grober Näherung der Forderung nach Multiplikativität, sodass die Forderung nach Multiplikativität den besseren Ausgangspunkt für die Entwicklung des Modells darstellt – insbesondere für die Kalkulation der Spielstärken von Spielern früherer Epochen.

Anpassung der Elo-Zahl

Die neue Elo-Zahl von Spieler A ergibt sich aus der bisherigen und der aktuellen Leistung, wobei letztere mit einem Faktor gewichtet wird. Je größer , desto stärker wirken sich neu erzielte Ergebnisse aus.

: ist üblicherweise 20, bei Top-Spielern (Elo > 2400) 10, bei weniger als 30 gewerteten Partien 40, für Jugendspieler (unter 18, Elo < 2300) 40
: tatsächlich erreichte Punkte von Spieler (1 für jeden Sieg, 0,5 für jedes Unentschieden, 0 für jede Niederlage)

Ein Beispiel

Der Schachspieler Alfred (Elo: 2806) spielt gegen die Schachspielerin Berta (Elo: 2577). Gemäß der ersten Formel erwartet man, dass Alfred (Spieler A) gegen Berta (Spieler B) im Mittel = 0,789 Punkte pro Spiel bekommt:

Nach einem Spiel gibt es drei Möglichkeiten:

a) Berta gewinnt – also = 0. Die neuen Elo-Punktestände für Alfred und für Berta sind

Alfred büßt acht Elo-Punkte ein, während Berta acht Elo-Punkte gewinnt.

b) Alfred gewinnt – also = 1.

Alfred erhält zwei weitere Elo-Punkte, Berta verliert zwei.

c) Unentschieden – also = 0,5.

Alfred verliert drei Elo-Punkte, Berta gewinnt drei.

Elo-Performance

Als Elo-Performance (auch Turnierleistung genannt) bezeichnet man die in Elo-Punkten ausgedrückte Leistung eines Spielers in einem einzelnen Turnier. Im Gegensatz zur normalen Elo-Berechnung geht die vorherige Elo-Zahl nicht in diese Wertung ein. Die Elo-Performance wird neben ihrem rein sportlichen Aussagewert als Kriterium zur Vergabe von Sonderpreisen gewählt, wenn ein anderer direkter Leistungsvergleich der Spieler nicht möglich ist – z. B., um den besten Einzelspieler in einem Mannschaftsturnier zu bestimmen.

Schach

Vor Einführung der Elo-Zahl stufte man die Spieler beim Schach in neun Klassen oder Kategorien ein. Ein Unterschied von einer Klasse bedeutete, dass der bessere Spieler als Ergebnis einer Partie 0,75 Punkte erwarten darf. Im Elo-System entspricht dieser Spielstärkeunterschied einer Differenz von um die 200 Wertungspunkten. Eine Erweiterung stellt das Glicko-System dar.

Zuordnung der Titel nach der Wertungszahl
Elo-ZahlKategorie MännerKategorie Frauen
≥ 2500Großmeister
2400–2499Internationaler Meister
2300–2399FIDE-MeisterGroßmeister der Frauen (WGM)
2200–2299Candidate Master oder Nationaler MeisterInternationaler Meister der Frauen (WIM)
2100–2199MeisteranwärterFIDE-Meister der Frauen (WFM)
2000–2099ExperteCandidate Master der Frauen (WCM)
1800–1999Amateur, Klasse A, sehr guter Vereinsspieler
1600–1799Amateur, Klasse B, starker Freizeitspieler
1400–1599Amateur, Klasse C, überdurchschnittlicher Spieler
1200–1399Amateur, Klasse D, durchschnittlicher Hobbyspieler
1000–1199Gelegenheitsspieler
< 1000Anfänger

Zu beachten ist dabei, dass man die verschiedenen Titel Großmeister (GM) und Internationaler Meister (IM) nicht nur auf Grund einer bestimmten Elo-Zahl erhält, sondern durch die Erfüllung von anderen festgelegten Normen. Um den Titel nach Erfüllung aller Normen zu erhalten, muss ein angehender GM allerdings eine Elo-Zahl von mindestens 2500, ein IM eine Zahl von mindestens 2400 einmal erreicht haben. Die Anforderungen an Titel für Frauen liegen jeweils um 200 Elo-Punkte niedriger als an entsprechende Titel für Männer.

Der Umfang einer Klasse beträgt 200 Elo-Punkte. Das System ist so kalibriert, dass ein Unterschied von 200 Punkten einer Gewinnerwartung des stärkeren Spielers von 76 % entspricht, 400 Punkte entsprechen 92 % Gewinnerwartung,[7] die Formel P=1/(1+10−D/400), wobei D die Differenz des niedriger gewerteten Spielers mit der des höher gewerteten Spielers angibt, gilt dabei nur näherungsweise.[8] Der Vergleich beruht auf statistischen Verfahren. Bei 600 Punkten Unterschied gewinnt der stärkere Spieler statistisch fast immer (98 %). Bei Computern ist die Verteilung nicht nur per 200-Punkte-Definition gleich, sondern auch vom Kurvenverhalten her darüber hinaus sehr ähnlich, allerdings gibt es bei ähnlich starken Maschinen eine weitere Spielstärkenspreizung in den verschiedenen Partiephasen.

Turnierkategorie

Auch Rundenturniere werden nach der durchschnittlichen Elo-Zahl der Teilnehmer in Kategorien eingeteilt. Hierbei entspricht ein Unterschied um eine Kategorie 25 Elo-Punkten. Als Turnier der Kategorie 1 wird dabei ein Turnier eingestuft, dessen Teilnehmer im Durchschnitt 2251 bis 2275 Elo-Punkte haben. Die zurzeit stärksten Turniere erreichen die Kategorie 22, was einem Durchschnitt von 2776 bis 2800 Elo-Punkten entspricht. Bei der Zürich Chess Challenge 2014 wurde im Januar 2014 erstmals Kategorie 23 (mit einem Elo-Durchschnitt von 2801) erreicht.

Statistik

Das Elo-System teilt die Schachspieler mit Hilfe einer Wertungszahl in neun Klassen ein, wobei die untere Grenze der obersten Klasse bei 2600 und die obere Grenze der untersten Klasse bei 1200 liegt. Die Wertungszahlen eines einzelnen Spielers sind intervallskaliert und annähernd normalverteilt und schwanken mit einer Standardabweichung von 200 um einen mittleren Wert. Es gibt viele Spieler mit Spielstärken unter 1200, das Elo-System ist auf diesem Spielniveau in der Vorhersagesicherheit aber nur eingeschränkt gültig. Wichtig ist insbesondere auf Hobbyspielerniveau, dass ein Spieler seine Zahl auch gegen stärkere Gegner verteidigen kann, ohne sich auf besondere Eigenschaften wie unbewusste psychische Schwächen oder schlechtes Zeitmanagement von Neulingen konzentrieren zu müssen. Utopisch hohe Werte werden durch Niederlagen schnell, exakt und zuverlässig korrigiert. Die recht stabile Elo-Zahl wird mit verschiedenen Verfahren ermittelt. Manche gehen von wenigen Spielen aus oder von ähnlich starken Turnierteilnehmern, nach vielen Partien erreichen alle sehr ähnliche Gleichgewichte.

Grundlage der Berechnung ist die Hypothese, die Verteilung der Spielstärke in der Gesamtheit der Spieler entspreche mathematisch der Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve). Ausgehend von dieser Hypothese lässt sich für zwei Gegner statistisch voraussagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der eine Spieler gewinnen wird. Im Sonderfall der identischen Wertungszahl sind die Wahrscheinlichkeiten gleich hoch. Bei einem Turnier lässt sich anhand der Wertungszahl eines Spielers und des Durchschnitts der Wertungszahlen seiner Gegner voraussagen, welche Punktzahl er wahrscheinlich erzielen wird. Nach Abschluss des Turniers wird das tatsächliche Ergebnis mit dem statistisch vorausgesagten Ergebnis verglichen und aus der Abweichung die neue Wertungszahl des Spielers errechnet.

Probleme von Rating-Systemen

Intransitivität von Wahrscheinlichkeitsrelationen

Ist Spieler A gegenüber Spieler B der Favorit und B gegenüber C, so besitzt A ein höheres Rating als B und B ein höheres als C. Damit besitzt A ein höheres Rating als C und müsste Favorit gegenüber C sein.

Diese Folgerung ist aber keineswegs zwingend, da Wahrscheinlichkeits- bzw. Präferenzrelationen nicht notwendigerweise transitiv sind. Dieses Problem ist keine Besonderheit des Elo-Systems, sondern ein prinzipielles Problem aller Rating-Systeme. (vgl. Condorcet-Paradoxon, „Chinesische Würfel“ oder „Intransitive Würfel“)

Transitivität ist jedoch eine notwendige Voraussetzung für ein sinnvolles Rating-System. Um diese Eigenschaft zu sichern, setzte Arpad Elo bei der Entwicklung seines Rating-Systems voraus, dass die Spielstärken mithilfe der Formel: beschreibbar sind. Aus dieser Annahme folgt neben der Transitivität auch die oben dargestellte Multiplikativität der Erwartungswerte.

Deflation und Inflation

Will man mithilfe der Elo-Zahlen – oder anderer Ratings, dies betrifft nicht nur das Elo-System – die Stärken von Spielern aus unterschiedlichen Epochen vergleichen, so sollte ein Rating von z. B. 1600 aus dem Jahre 1970 gleichbedeutend mit einem Rating von 1600 aus dem Jahre 2000 sein. Insbesondere sollte, da sich infolge der Weiterentwicklung der Theorie die durchschnittliche Spielstärke im Laufe der Zeit zumindest nicht verschlechtert, sich die mittlere Ratingzahl nicht verringern.

Beim Elo-System gewinnt der Sieger einer Partie genau so viele Rating-Punkte hinzu, wie der Verlierer einbüßt: die mittlere Spielstärke beider bleibt gleich. Umfasst der Rating-Pool nur Spitzenspieler, so ist folgendes Phänomen zu beobachten: Sooft ein Spieler neu in die Ratings aufgenommen wird, tritt er mit einer gewissen (niedrigen) Punktezahl ein. Im Laufe seiner Karriere verbessert er seine Stärke, gewinnt Punkte hinzu, und scheidet später mit einer (hohen) Punktezahl aus – dadurch werden der Gesamtheit Punkte entzogen, und die mittlere Ratingzahl sinkt; d. h., das System ist deflationär.

Vergrößert man den Ratings-Pool, so tritt der entgegengesetzte Effekt auf: Viele Spieler verlassen den Ratings-Pool mit einem niedrigeren Rating, als ihnen bei Eintritt zugemessen wurde – das System wird nun inflationär.

Dies war insbesondere früher der Fall, als der Weltschachbund FIDE Schachspieler erst ab einer Wertungszahl von 2200 in die Rangliste aufnahm. Da die Elo-Auswertung von Turnieren gebührenpflichtig ist und damit für die FIDE eine Einnahmequelle darstellt, wurde diese Schwelle immer weiter herab gesenkt, zuletzt im Juli 2009 auf 1200.[6] Dennoch lässt es sich nicht vermeiden, dass viele Spieler den Ratings-Pool mit niedrigeren Wertungszahlen verlassen als sie bei Eintritt erhielten. Eine maßvolle Inflation ist jedoch durchaus erwünscht, diese sollte in ihrem Ausmaß der Weiterentwicklung der Spielstärken im Laufe der Zeit Rechnung tragen, allerdings ergibt sich hier zumeist das Problem einer zu großen Inflation.

So konnten die Elo-Zahlen immer neue Rekorde erreichen, ohne eigentlich noch ein Maß für die Spielstärke absolut zu sein. Vor ca. 20 Jahren gab es nur zwei Spieler mit einer Elo-Zahl größer 2700, und nur ca. 10 bis 20 Spieler erreichten einen Wert über 2600. Im Juli 2010 hatten über 200 aktive Spieler eine Elo-Zahl größer 2600, davon 37 mindestens 2700; drei Spieler hatten sogar eine Elozahl von 2800 oder höher, was 20 Jahre zuvor undenkbar schien.

Die durchschnittliche Elo-Zahl der ersten 100 Spieler der Weltrangliste stieg zwischen Juli 2000 und Juli 2012 von 2644 auf 2703 Punkte, also eine Steigerung um 59 Wertungspunkte. Seit 2012 liegt der Mittelwert zwischen 2700 und 2706 und ist damit recht konstant.[9]

Das Tausend-Partien-Problem

Ein weiteres Phänomen ist das sogenannte Tausend-Partien-Problem. Oft treffen Spieler der gleichen Spielstärke immer wieder aufeinander. Angenommen, zwei Spieler mit Elo 2000 spielen zehn Partien, bei denen der eine 80 % der Punkte erreicht. Nach der Berechnung der neuen Elo-Zahl ergeben sich die Werte 2080 für den Sieger und 1920 für den Verlierer. Tragen die beiden Spieler jedoch 1000 Partien mit gleichem Punkteverhältnis aus, ohne dass die Wertung aktualisiert wird, so ergibt sich für den Sieger eine neue Wertungszahl, die höher als die des aktuellen Weltmeisters ist. Jedoch ist dieses Szenario nur theoretischer Natur. Nach dem Statistikgesetz der großen Zahl darf man erwarten, dass die beiden gleich starken Spieler (beide hatten Elo 2000) sich nach vielen Partien den zu erwartenden 50 % annähern. Zudem wird es in der Praxis nie 1000 Partien ohne Ratingaktualisierung geben.

Die Entwicklung der Wertzahlen wird auch von der Auswertungsperiode beeinflusst. Nach einer Testphase mit unregelmäßigen Veröffentlichungen wurde 1975 bis 1980 einmal jährlich im Januar eine neue Liste veröffentlicht. Beginnend im Juli 1981 wurde auf halbjährliche Veröffentlichung umgestellt und dies bis Juli 2000 so beibehalten. Im Oktober 2000 wurde dann auf Veröffentlichung alle drei Monate umgestellt. Von Juli 2009 bis Juli 2012 wurde alle zwei Monate ausgewertet.[6] Seit August 2012 wird monatlich ausgewertet.[10] Die minimale Wertungszahl beträgt seitdem 1000 Punkte, zuvor lag sie bei 1200. Sinnvoll wäre prinzipiell eine Auswertung nach jedem Turnier, da so Formschwankungen von Spielern besser ausgeglichen werden können. Allerdings ist das derzeit nicht geplant.

Spielstärken ausgewählter Schachspieler

Nachdem im Jahr 1970 die Elo-Zahl als Wertungssystem eingeführt worden war, hatte zunächst Bobby Fischers Bestmarke von 2785 Punkten vom Juli 1972 für viele Jahre Bestand. Im Jahre 1999 erreichte der damalige klassische Schachweltmeister Garri Kasparow die Elo-Zahl von 2851 Punkten, die erst im Januar 2013 von Magnus Carlsen mit 2861 Punkten übertroffen wurde. Inzwischen konnte Carlsen den Rekord auf 2882 erhöhen (Liste vom Mai 2014).

Elo-Zahlen können auch für einzelne Turniere berechnet werden. Hierbei gelang Fabiano Caruana im Jahr 2014 beim Turnier um den Sinquefield Cup in St. Louis eine Elo-Leistung von 3103.[11] Die davor gültige höchste Turnier-Elo-Leistung war 3002, erzielt von Magnus Carlsen in Nanjing im Jahr 2010.[12]

Großmeister kommen normalerweise auf eine Elo-Zahl von mindestens 2500, ab 2600 Punkten kann man von der erweiterten Weltspitze sprechen. Den Stand der FIDE-Auswertung vom April 2021 zeigt die folgende Tabelle mit den zwanzig am höchsten bewerteten aktiven Spielern, ergänzt um die beste Frau und die besten männlichen und weiblichen Spieler aus Deutschland, Österreich und der Schweiz (in Klammern: Platz in der Frauenrangliste):

RangNameRating
(Apr. 2021)
Land
1Magnus Carlsen2847NorwegenNorwegen Norwegen
2Fabiano Caruana2820Vereinigte StaatenVereinigte Staaten Vereinigte Staaten
3Ding Liren2791China VolksrepublikVolksrepublik China Volksrepublik China
4Ian Nepomniashchy2789RusslandRussland Russland
5Levon Aronian2781ArmenienArmenien Armenien
6Alexander Grishchuk2777RusslandRussland Russland
7Anish Giri2776NiederlandeNiederlande Niederlande
8Şəhriyar Məmmədyarov2770AserbaidschanAserbaidschan Aserbaidschan
9Wesley So2770Vereinigte StaatenVereinigte Staaten Vereinigte Staaten
10Teymur Rəcəbov2765AserbaidschanAserbaidschan Aserbaidschan
11Richárd Rapport2763UngarnUngarn Ungarn
12Wang Hao2763China VolksrepublikVolksrepublik China Volksrepublik China
13Alireza Firouzja2759FrankreichFrankreich Frankreich
14Leinier Domínguez Pérez2758Vereinigte StaatenVereinigte Staaten Vereinigte Staaten
15Maxime Vachier-Lagrave2758FrankreichFrankreich Frankreich
16Sergey Karjakin2757RusslandRussland Russland
17Viswanathan Anand2753IndienIndien Indien
18Hikaru Nakamura2736Vereinigte StaatenVereinigte Staaten Vereinigte Staaten
19Veselin Topalov2735BulgarienBulgarien Bulgarien
20Wei Yi2732China VolksrepublikVolksrepublik China Volksrepublik China
...
55Markus Ragger2680OsterreichÖsterreich Österreich
...
66Matthias Blübaum2670DeutschlandDeutschland Deutschland
...
85 (1)Hou Yifan2658China VolksrepublikVolksrepublik China Volksrepublik China
...
212Vadim Milov2607SchweizSchweiz Schweiz
1132 (23)Elisabeth Pähtz2467DeutschlandDeutschland Deutschland
5035 (?)Regina Theissl-Pokorná2296OsterreichÖsterreich Österreich
6260 (?)Ghazal Hakimifard2265SchweizSchweiz Schweiz

Historische Elo-Zahl im Schach

Für den Vergleich heutiger Spitzenspieler mit Großmeistern vor der Einführung der Elo-Zahl wird die sogenannte historische Elo-Zahl verwendet.

Computerschach

Die Elo-Zahlen der Schachcomputer bzw. Computerprogramme sind nicht ohne weiteres mit denen menschlicher Schachspieler zu vergleichen, da sie überwiegend durch Partien zwischen Computern ermittelt wurden und nicht durch Teilnahme an offiziellen Turnieren.

Go

Bei Go wird die Spielstärke traditionell in Kyū-Graden (jap. ) für Schüler und Dan-Graden (jap. ) für Meister angegeben. Die Ermittlung dieser Spielstärke basiert innerhalb der European Go Federation und bei vielen Go-Servern im Internet auf einem von Elo abgeleiteten System, welches Kyū- und Dan-Grade wie folgt abbildet:

kyu/danEloSpielstärke und -erfahrung[13]
30k Regeln verstanden, aber noch keine Partie gespielt
29k – 28k einige Partien gespielt
27k – 25k einige Partien gegen Anfänger gewonnen
24k – 22k einige Partien gegen Nicht-Anfänger gewonnen
21k – 18k0–349Hobby-Spieler
17k – 14k350–749regelmäßiger Hobby-Spieler
13k – 10k750–1149Club-Spieler
9k – 5k1150–1649regelmäßiger Club-Spieler
4k – 1k1650–2049guter Club-Spieler
1d – 3d2050–2349sehr guter Club-Spieler
4d – 7dab 2350einer der besten Spieler seines Landes
1p – 9pab circa 2600professioneller Go-Spieler (aus Japan, Korea oder China), der stärker als ein Amateur-6dan spielt
weltbester 9p-Spieler3627Ke Jie, weltbester Gospieler (Stand: 4. Januar 2017)[14]
weltbeste 9p-KI5185AlphaGo Zero auf einem TPU-v2-Modul mit 180 TFLOPS[15]

Fußball

Die FIFA-Weltrangliste der Frauen wird seit 2003 offiziell mit einem adaptierten Elo-System ermittelt. Seit 2018 wird die FIFA-Weltrangliste für Männer auch auf ein adaptiertes Elo-System umgestellt.[16]

Eine länger bestehende inoffizielle Adaption des Elo-Systems für Männernationalmannschaften im Fußball sind die World Football Elo Ratings. Inoffizielle Elo-Ratings werden auch für Fußball-Clubs vorgenommen.[17]

Tischtennis

Swiss Table Tennis nutzt seit der Saison 2010/2011 eine etwas modifizierte Elo-Formel zur Berechnung von Wertungspunkten[18]

EA: Erwarteter Punktestand für Spieler A.
RA: bisherige Punkte-Zahl von Spieler A
RB: bisherige Punkte-Zahl von Spieler B

Der Erwartungswert für A beträgt nun EA · 100 %. Die neue Punkte-Zahl von Spieler A ist

SA: tatsächlich gespielter Punktestand (1 für jeden Sieg, 0 für jede Niederlage, Remis ist im Tischtennis nicht möglich)

In Deutschland wird nach einem analogen System für jeden Aktiven ein TTR-Wert errechnet.[19]

Scrabble

Für weltweites Scrabble (Global Scrabble) wird eine Elo-Rangliste von der World English-language Scrabble Players’ Association (WESPA) geführt. Auf Rang 1 dieser Elo-Rangliste liegt der Neuseeländer Nigel Richards (2156 Elo-Punkte, Stand 17. Oktober 2020).[20]

Seit 2009 wird auch für das deutschsprachige Scrabble eine Elo-Rangliste geführt – basierend auf Turnieren ab 2005. Unter 206 Spielern aus 5 Ländern liegt hier der Deutsche Ben Berger mit 1754 Elo-Punkten auf Rang 1 (Stand: 26. Februar 2017).[21]

League of Legends

Im MOBA League of Legends, einer Liga eines Computer-Strategiespiels, wurde ebenfalls das Elo-System bei gewerteten Spielen verwendet. Inzwischen wurde es durch das Ligasystem ersetzt, dem aber noch das Elo-System zu Grunde liegt.[22]

Bei einem Sieg bekommt man League Points (LP), bei einer Niederlage werden LP abgezogen. Bis Ende 2020 musste man bei 100 LP ein Best of three bzw. five gewinnen, um eine Liga aufzusteigen.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. E. E. M. van Berkum: Bradley-Terry model, Encyclopedia of Mathematics Online, abgerufen am 18. November 2014.
  2. Ralph Allan Bradley, Milton E. Terry: Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons. Biometrika, Bd. 39, Nr. 3/4, S. 324, 1952 JSTOR (abgerufen am 22. August 2018).
  3. David R. Hunter: MM algorithms for generalized Bradley–Terry models. The Annals of Statistics, Bd. 32, Nr. 1, 2004, S. 384–406 Online JSTOR (abgerufen am 22. August 2018).
  4. Ernst Zermelo: Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mathematische Zeitschrift, Bd. 29, Nr. 1, 1929, S. 436–460 DOI (abgerufen am 22. August 2018).
  5. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-5404-9553-6, S. 268–269.
  6. a b c Changes in the Rating Regulations from 1.7.2009 Auf: fide.com, 15. Juli 2009
  7. 8.0. The working of the FIDE Rating System, World Chess Federation
  8. 12.0. Some comments on the Rating system, World Chess Federation
  9. http://ratings.fide.com/toplist.phtml?list=men
  10. FIDE July ratings – Carlsen at a record 2837, chessbase.com (englisch)
  11. Johannes Fischer: Sinquefield Cup: Drei Remis zum Schluss. In: Schach Nachrichten. chessbase, 7. September 2014, abgerufen am 8. September 2014.
  12. Stefan Löffler: Wie eine Maschine. Der erst 22 Jahre alte Fabiano Caruana lehrt Schach-Weltmeister Carlsen das Fürchten. In: Frankfurter Allgemeine Zeitung vom 8. September 2014, S. 32.
  13. Rémi Coulom: Whole-History Rating: A Bayesian Rating System for Players of Time-Varying Strength. In: remi-coulom.fr. Abgerufen am 4. Januar 2017 (englisch).
  14. Ke Jie. In: goratings.org. Abgerufen am 4. Januar 2017 (englisch).
  15. David Silver, Julian Schrittwieser, Karen Simonyan: Mastering the game of Go without human knowledge. In: Nature. Band 550, 19. Oktober 2017, S. 354–359 (englisch, Abstract).
  16. https://resources.fifa.com/image/upload/revision-of-the-fifa-coca-cola-world-ranking.pdf?cloudid=akxuma7jhfjwlwfmfexz
  17. http://clubelo.com/
  18. [1] (abgerufen am 20. Juli 2017).
  19. Zeitschrift tischtennis, 2020/11, Seite 32 f.
  20. WESPA Ratings (Englisch) 17. Oktober 2020. Abgerufen am 4. April 2021.
  21. Elo-Rangliste (Memento vom 24. April 2012 im Internet Archive)
  22. http://forums.euw.leagueoflegends.com/board/showthread.php?t=1232907&page=1#post11986204

Anmerkungen

  1. Beweis: Wir setzen zur Abkürzung
    und erhalten
    Vorstehender Ausdruck ist definiert, da eine Zehnerpotenz ist, für die stets gilt. Wir können nun schreiben
    Beides sind definierte Brüche, da für als Zehnerpotenz auch gilt. Aus
    folgt die Behauptung

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