Elliptische Isometrie

In der Mathematik sind elliptische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei ${\displaystyle X}$ ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

${\displaystyle f\colon X\to X}$

ist eine elliptische Isometrie, wenn sie einen Fixpunkt hat, d. h. wenn es ein ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle f(x)=x}$ gibt.

Beispiel

Sei ${\displaystyle X={\mathbf {H} }^{2}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\right\}}$ das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ die durch

${\displaystyle f(z)={\frac {\cos(\phi )z+\sin(\phi )}{-\sin(\phi )z+\cos(\phi )}}}$

gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass ${\displaystyle f}$ eine Isometrie ist und den Fixpunkt ${\displaystyle z=i}$ hat. Es ist also eine elliptische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen ${\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {R} )}$ und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen ${\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {C} )}$ beschrieben werden. Eine durch ${\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {R} )}$ beschriebene Isometrie der hyperbolischen Ebene ist genau dann elliptisch, wenn für die Spur von ${\displaystyle A}$ die Ungleichung

${\displaystyle -2<\operatorname {Sp} (A)<2}$

gilt. Für eine durch ${\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {C} )}$ beschriebene elliptische Isometrie des hyperbolischen Raumes gilt notwendigerweise

${\displaystyle \mid \operatorname {Sp} (A)\mid \leq 2}$ und ${\displaystyle \operatorname {Sp} (A)\not \in \left\{-2,2\right\}}$.

Eigenschaften

Es sei ${\displaystyle X}$ ein vollständiger CAT(0)-Raum und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine Isometrie.

• ${\displaystyle f}$ ist genau dann elliptisch, wenn es einen beschränkten Orbit hat.^[1]
• ${\displaystyle f}$ ist genau dann elliptisch, wenn es ein ${\displaystyle n>0}$ gibt, für das ${\displaystyle f^{n}}$ elliptisch ist.^[1]

Siehe auch

• Hyperbolische Isometrie
• Parabolische Isometrie

Literatur

• Francis Bonahon: Low-dimensional geometry. From Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library, 49. IAS/Park City Mathematical Subseries. American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2009. ISBN 978-0-8218-4816-6
• Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.

Weblinks

• Chang: Isometries of the hyperbolic plane

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Bridson-Haefliger, op.cit., Proposition 6.7