Ellipsograph des Archimedes

Der Ellipsograph, Ellipsenzirkel des Archimedes^[1] oder Stuckateurzirkel^[2][3] ist ein Mechanismus, der die Form einer Ellipse erzeugt.

Er besteht im Wesentlichen aus drei unterschiedlichen Bauteilen:

1. einer Grundplatte mit zwei rechtwinklig zueinander liegenden Führungsnuten (andere Konfigurationen sind technisch möglich, aber unüblich),
2. einem Zeichenarm mit der Halterung für den Zeichenstift bei Punkt ${\displaystyle E}$ sowie zwei Gelenkaugen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$,
3. zwei Kulissensteine mit Lagerbolzen, eingeschoben in den Führungsnuten der Grundplatte, verbinden die Grundplatte im Punkt ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit dem damit beweglichen Zeichenarm.

Der Abstand zwischen Zeichenstift und dem ersten Gelenkauge ${\displaystyle A}$ sei ${\displaystyle q}$, der Abstand zwischen den Gelenken ${\displaystyle p}$. Durch Variieren von ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle p}$ können bezüglich Größe und Form unterschiedliche Ellipsen gezeichnet werden. So ist die Länge der großen Halbachse ${\displaystyle p+q}$ und die Länge der kleinen Halbachse ${\displaystyle q}$.^[4]

Die Geschichte dieses Mechanismus ist nicht gesichert. Es wird angenommen, dass Proklos den Mechanismus kannte,^[5] aber eventuell war der Mechanismus bereits zu archimedischen Zeiten bekannt.

Es existiert ein britisches Patent für diesen Mechanismus von 1894.^[6]

Der Mechanismus ist auch bekannt als:

• Archimedischer Ellipsograph^[7]
• Der Ellipsograph des Proklos^[8]

Mathematische Grundlagen

Wie in der nebenstehenden Skizze zu sehen ist, hat die Strecke ${\displaystyle {\overline {BE}}=p+q}$ die gleiche Länge wie die Halbachse ${\displaystyle {\overline {MA_{0}}}}$ und die Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}}=q}$ die gleiche Länge wie die Halbachse ${\displaystyle {\overline {MB_{0}}}}$ der Ellipsenlinie ${\displaystyle E_{L}}$.^[5] Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke ${\displaystyle BEY}$ und ${\displaystyle EAX}$ zueinander ähnlich sind, ist folgerichtig der Winkel ${\displaystyle \theta '}$ der Z-Winkel von ${\displaystyle \theta }$.

Für die allgemeine Bestimmung des Punktes ${\displaystyle E}$ im kartesischen Koordinatensystem gilt nach dem Satz des Pythagoras

${\displaystyle {\frac {x}{p+q}}=\cos \theta \,}$, daraus folgt

${\displaystyle x=(p+q)\cdot \cos \theta \,}$,

${\displaystyle {\frac {y}{q}}=\sin \theta \,}$, somit ist

${\displaystyle y=q\cdot \sin \theta }$.

Die mit dem Mechanismus vom Ellipsographen und dem Zeichenstift im Punkt ${\displaystyle E}$ erzeugbare Linie ist eine sogenannte Ellipse in der 1. Hauptlage, denn wird für die große Halbachse ${\displaystyle a}$ die Länge ${\displaystyle p+q}$ sowie für die kleine Halbachse ${\displaystyle b}$ die Länge ${\displaystyle q}$ eingesetzt, entspricht die gefundene Gleichung der für die Ellipse in der 1. Hauptlage:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{(p+q)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$.

Äquivalenz zu den Cardanischen Kreisen

Als Cardanische Kreise bezeichnet man eine geometrische Anordnung, bei der ein kleiner Kreis in einem doppelt so großen feststehenden Kreis abrollt. Die ausgeführte Bewegung ist dieselbe, die der Zeichenarm ausführt. Die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ liegt hierbei auf einem Durchmesser des kleinen Kreises. Somit kann mit einem Spirograph eine Ellipse^[10] erzeugt werden, wenn das innere Zahnrad halb so viele Zähne hat wie das Hohlrad, in dem es abrollt. Diese Analogie veranschaulicht auch, dass sich der Momentanpol des Zeichenarms auf dem Außenkreis mit dem Radius ${\displaystyle p}$ bewegt.

Anwendungen

Der Mechanismus wurde als Physikspielzeug für Kinder verkauft.^[11]

Ein US-Patent benutzt das Prinzip des Ellipsographen für einen Ellipsenschneider.^[12]

Varianten

• 
  Eine ähnliche Mechanik mit nur einem Gleiter und einer Kurbel
• 
  Ellipsenzirkel mit drei Gleitern

Literatur

Chris Sangwin: The wonky trammel of Archimedes, This article provides brief notes on an ancient problem: the ellipsograph of Archimedes. (PDF) In: citeseerx.ist.psu.edu. School of mathematics, University of Birmingham …, 25. Juli 2008, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 9. April 2017. .

Weblinks

Commons: Ellipsenzirkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

1. ↑ Ellipsenzirkel. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 5: Differenzgeschäfte–Erde. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1906, S. 720–721 (Digitalisat. zeno.org). 
2. ↑ Franz Reuleaux: Theoretische Kinematik: Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens. 1875, S. 318 (Volltext in der Google-Buchsuche). 
3. ↑ Franz Reuleaux, Alexander Kennedy: Kinematics of Machinery: Outlines of a Theory of Machines. 1876, S. 318, Fig. 248 (siehe Fußnote) (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche). 
4. ↑ Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 3. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1906, S. 436–437 (Digitalisat. zeno.org – Fig. 2). 
5. ↑ ^{a b} Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 3. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1906, S. 436–437 (Digitalisat. zeno.org). 
6. ↑ Patent GB189402496: Ellipsograph. Angemeldet am 5. Mai 1894, Erfinder: Heinel Gustav, Barth Carl.‌Text, Zeichnung (S. 3)
7. ↑ Archimedischer Ellipsograph. In: webenergie.ch. Do-it-yourSciences, Die Plattform für wissenschaftliche und pädagogische Werkarbeiten, 16. März 2010, abgerufen am 6. April 2017. 
8. ↑ Der Ellipsograph des Proklos. In: Die kinematischen geometrischen Mechanismen der Griechen der Antike. Kotsanas Museum of Ancient Greek Technology, abgerufen am 6. April 2017. 
9. ↑ Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 3. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1906, S. 436–437 (Digitalisat. zeno.org – Fig. 1). 
10. ↑ Cardanische Kreise. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 2. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1905, S. 423–424 (Digitalisat. zeno.org – „Von De la Hire wurde nachgewiesen …“, Fig. 1). 
11. ↑ Entertainment Center: Kentucky Do-Nothing. In: flickr.com. Scott Kraft, 22. März 2009, abgerufen am 6. April 2017. 
12. ↑ Patent US4306598: Ellipse cutting machine, siehe Fig. 1 und Fig. 2. Angemeldet am 26. Juni 1980, veröffentlicht am 22. Dezember 1981, Erfinder: David G. Peot.‌