Elementzeichen

Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen+
Minuszeichen, ./.
Malzeichen, ×
Geteiltzeichen:, ÷, /
Plusminuszeichen±,
Vergleichszeichen<, , =, , >
Wurzelzeichen
Prozentzeichen%
Analysis
SummenzeichenΣ
ProduktzeichenΠ
Differenzzeichen, Nabla,
Differentialzeichen, d,
Integralzeichen
Verkettungszeichen
Unendlichzeichen
Geometrie
Winkelzeichen, , ,
Senkrecht, Parallel,
Dreieck, Viereck,
Durchmesserzeichen
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt,
Differenz, Komplement,
Elementzeichen
Teilmenge, Obermenge, , ,
Leere Menge
Logik
Folgepfeil, ,
Allquantor
Existenzquantor
Konjunktion, Disjunktion,
Negationszeichen¬

Das Elementzeichen (∈) ist ein mathematisches Zeichen, mit dem angegeben wird, dass ein Objekt ein Element einer Menge ist. Es geht auf Giuseppe Peano zurück und entstand durch Stilisierung aus dem griechischen Kleinbuchstaben Epsilon. Für das Elementzeichen existieren eine Reihe von Abwandlungen; häufig wird es in durchgestrichener Form (∉) oder umgedrehter Form (∋) verwendet.

Geschichte

Der Begründer der Mengenlehre Georg Cantor verwendete noch keine Abkürzung für den Ausdruck a ist ein Element von b. Das Elementzeichen geht auf den italienischen Mathematiker Giuseppe Peano zurück, der es in Form eines griechischen Kleinbuchstabens ϵ (Epsilon) erstmals 1889 in einer in lateinischer Sprache geschriebenen Arbeit zu den Peano-Axiomen einsetzte:[1]

„Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b

„Das Zeichen ϵ bedeutet ist. Also wird a ϵ b als a ist ein b gelesen“

Giuseppe Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889, S. X[2]

Das Epsilon ϵ, das Peano ab 1890 in der Form ε schrieb, ist die Initiale des griechischen Worts ἐστί (esti) mit der Bedeutung ist.[3] In der Form ε und der heute gängigen Verbalisierung ist ein Element von wurde das Elementzeichen 1907 von Ernst Zermelo in seiner Arbeit zur Zermelo-Mengenlehre verwendet.[4] In der ursprünglichen Form ϵ verbreitete sich das Elementzeichen ab 1910 über die Principia Mathematica von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead weiter.[5] Im Laufe der Zeit wurde es dann zu ∈ stilisiert.[1]

Verwendung

Ist ein Objekt Element einer Menge , so notiert man diesen Sachverhalt durch

und spricht „x ist Element von M“.

Gelegentlich ist es sinnvoll, die Reihenfolge umzudrehen, und man notiert dann

und spricht „M enthält als Element x“.

Ist kein Element der Menge , so schreibt man entsprechend

  bzw.   .

Formal steht das Elementzeichen für eine Relation, die sogenannte Elementrelation.

Kodierung

Elementzeichen

Das Elementzeichen wird in Computersystemen folgendermaßen kodiert.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
ZeichenUnicodeBezeichnungHTMLLaTeX
PositionBezeichnunghexadezimaldezimalbenannt
U+2208element ofElement von&#x2208;&#8712;&isin;\in
U+2209not an element ofkein Element von&#x2209;&#8713;&notin;\notin
U+220Asmall element ofkleines Element von&#x220A;&#8714;
U+220Bcontains as memberenthält als Element&#x220B;&#8715;&ni;\ni
U+220Cdoes not contain as memberenthält nicht als Element&#x220C;&#8716;\not\ni
U+220Dsmall contains as memberkleines enthält als Element&#x220D;&#8717;
U+27D2element of opening upwardsElement von nach oben geöffnet&#x27D2;&#10194;
U+2AD9element of opening downwardsElement von nach unten geöffnet&#x2AD9;&#10969;

Epsilon

Gelegentlich wird auch der griechische Kleinbuchstabe Epsilon als Elementzeichen verwendet.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
ZeichenUnicodeBezeichnungHTMLLaTeX
PositionBezeichnunghexadezimaldezimalbenannt
εU+03B5Greek small letter epsilongriechischer Kleinbuchstabe epsilon&#x03B5;&#949;&epsilon;\varepsilon
ϵU+03F5Greek lunate epsilon symbolgriechisches halbmondförmiges Epsilon-Symbol&#x03F5;&#1013;\epsilon
϶U+03F6Greek reversed lunate epsilon symbolgriechisches umgedrehtes halbmondförmiges Epsilon-Symbol&#x03F6;&#1014;

Abwandlungen

Zudem existieren folgende Abwandlungen des Elementzeichens.

Kodierung in Unicode und HTML
ZeichenUnicodeBezeichnungHTML
PositionBezeichnunghexadezimaldezimal
U+22F2element of with long horizontal strokeElement von mit langem horizontalen Strich&#x22F2;&#8946;
U+22F3element of with vertical bar at end of horizontal strokeElement von mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs&#x22F3;&#8947;
U+22F4small element of with vertical bar at end of horizontal strokekleines Element von mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs&#x22F4;&#8948;
U+22F5element of with dot aboveElement von mit Punkt darüber&#x22F5;&#8949;
U+22F6element of with overbarElement von mit Überstrich&#x22F6;&#8950;
U+22F7small element of with overbarkleines Element von mit Überstrich&#x22F7;&#8951;
U+22F8element of with underbarElement von mit Unterstrich&#x22F8;&#8952;
U+22F9element of with two horizontal strokesElement von mit zwei horizontalen Strichen&#x22F9;&#8953;
U+22FAcontains with long horizontal strokeenthält mit langem horizontalen Strich&#x22FA;&#8954;
U+22FBcontains with vertical bar at end of horizontal strokeenthält mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs&#x22FB;&#8955;
U+22FCsmall contains with vertical bar at end of horizontal strokekleines enthält mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs&#x22FC;&#8956;
U+22FDcontains with overbarenthält mit Überstrich&#x22FD;&#8957;
U+22FEsmall contains with overbarkleines enthält mit Überstrich&#x22FE;&#8958;

Siehe auch

Literatur

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2009, ISBN 3-642-01445-3.

Einzelnachweise

  1. a b Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2009, S. 21.
  2. Siehe https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog für einen Link auf die Originalarbeit. Datei:First usage of the symbol ∈.png enthält ein Bild auf die entsprechende Textstelle.
  3. Giuseppe Peano: Démonstration de l‘intégrabilité des équations différentielles ordinaires. In: Mathematische Annalen. Band 37, 1890, S. 183.
  4. Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 262.
  5. Bertrand Russell, Alfred North Whitehead: Principia Mathematica. Volume 1. Cambridge University Press, 1910, S. 26.