Elementargebiet

Ein Gebiet ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf ${\displaystyle D}$ gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet ${\displaystyle D}$:

• ${\displaystyle D}$ ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in ${\displaystyle D}$ ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass ${\displaystyle D}$ keine Löcher hat.
• ${\displaystyle D}$ ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in ${\displaystyle D}$ ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in ${\displaystyle D}$.
• ${\displaystyle D}$ ist konform äquivalent zu ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ oder zur Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {E} }$, das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von ${\displaystyle D}$ zu ${\displaystyle \mathbb {C} }$ oder zu ${\displaystyle \mathbb {E} }$, vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.

Eigenschaften

• Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch ${\displaystyle A\cup B}$ ein Elementargebiet.
• Ist ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Elementargebieten, für die ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots }$ gilt, so ist auch ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ein Elementargebiet.

Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.

Beispiel

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \mathbb {E} }$
• jedes Sterngebiet
• die geschlitzte Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

• ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

Literatur

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4