Elektromagnetische Maßeinheiten

In der Physik sind verschiedene Einheitensysteme für elektrische und magnetische Größen entwickelt worden. Ganz überwiegend hat sich zwar das Internationale Einheitensystem (SI) durchgesetzt; zumindest in der theoretischen Physik wird jedoch von einigen Autoren die Gaußsche Variante des CGS-Systems bevorzugt.

Grundlagen

In einem physikalischen Einheitensystem ist nicht nur die konkrete Auswahl, sondern auch die Anzahl der Basisgrößen willkürlich: Man kann Basisgrößen aus einem Einheitensystem eliminieren, indem man stattdessen den Proportionalitätsfaktor in einem linearen „Naturgesetz“ als dimensionslose Zahl wählt. So arbeitet man in der theoretischen Atom- und Teilchenphysik mit einem Einheitensystem, das eine einzige Basisgröße hat, da man Lichtgeschwindigkeit und Plancksches Wirkungsquantum gleich 1 setzt.

Elektromagnetische Größen sind durch mehrere lineare Gesetze mit mechanischen Größen verknüpft. Für die Wahl des Einheitensystems relevant sind insbesondere folgende Zusammenhänge:

Das Coulomb-Gesetz, das die Kraft F zwischen zwei Punktladungen Q₁ und Q₂ im Abstand r angibt,

F=k_{1}\cdot {\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}

das ampèresche Kraftgesetz, das die Kraft F zwischen zwei von Strömen I₁ und I₂ durchflossenen Leitern der Länge ℓ im Abstand d angibt,

F=2k_{2}{\frac {I_{1}I_{2}\ell }{d}}

;

und das Faradaysche Induktionsgesetz,

\nabla \times {\vec {E}}=-k_{3}\cdot \partial {\vec {B}}/\partial t.

Die von statischen Ladungen ausgeübte Coulomb-Kraft und die von bewegten Ladungen ausgeübte Lorentzkraft kann man unmittelbar miteinander vergleichen; der Zusammenhang $\textstyle {k_{1}}={k_{2}}\cdot c^{2}$ enthält die Lichtgeschwindigkeit ${\textstyle c}$ . Damit bleiben zwei unabhängige Proportionalitätskonstanten $k_{1}$ und $k_{3}$ übrig, die die willkürliche Wahl einer elektrischen und einer magnetischen Basiseinheit erlauben. In Maßsystemen, die die elektromagnetischen Größen explizit auf mechanische Größen zurückführen, d. h. sich auf die drei Basisgrößen der Mechanik beschränken, kann man diese beide Konstanten als dimensionslose Zahlen oder als mechanische Größen willkürlicher Dimension wählen. Wenn man hingegen das System um eine elektromagnetische vierte Basiseinheit erweitert, benötigt man eine weitere dimensionsbehaftete, experimentell zu ermittelnde Naturkonstante.

Historische Entwicklung

Das erste System elektromagnetischen Größen wurde um 1832 von Carl Friedrich Gauß und in der Folge von Wilhelm Eduard Weber entwickelt, basierend auf den drei Basisgrößen der Mechanik: Länge, Masse und Zeit. Als Basiseinheiten wurden schließlich Centimeter, Gramm und Sekunde (CGS-System) gewählt. Das System benötigt eine zu messende^{[A 1]} Naturkonstante, die Lichtgeschwindigkeit ${\textstyle c}$ .

Es entstanden mehrere Varianten dieses System, insbesondere das elektrostatische Einheitensystem (esE) und das elektromagnetische Einheitensystem (emE). In den 1860er Jahren kombinierte man, basierend auf den Arbeiten von James Clerk Maxwell, das esE- und das emE-System zum so genannten Gaußschen Einheitensystem. Dieses System wurde 1874 von der British Association for the Advancement of Science und 1881 vom ersten internationalen Elektrizitätskongress angenommen. Es ist bis heute das Standard-CGS-System der Elektromagnetismus geblieben. Das Heaviside-Lorenz-System, eine Fortentwicklung des Gauß-Systems, konnte sich nicht gegenüber dem Gauß-System durchsetzen.

Da bei der Verwendung von CGS-Einheiten oft sehr große Zahlen auftraten, definierte man die Einheiten „Volt“, „Ohm“ und „Ampere“ als 10⁸, 10⁹ und 10⁻¹ elektromagnetische CGS-Einheiten, um „handliche“ Zahlen zu bekommen. Für diese so definierten Einheiten wurden Normale entwickelt, z. B. das Weston-Normalelement für das Volt. Diese Normale waren aber nicht einfach nur empfohlene Realisierungen der Maßeinheiten, sondern wurden für deren Definition verwendet. Dadurch entstand ein Nebeneinander von aus den mechanischen Einheiten abgeleiteten „absoluten“ elektromagnetischen Einheiten und den nunmehr offiziellen, über die Normale definierten „internationalen“ Einheiten. Diese unterschieden sich leicht voneinander.^[1] Nach einem Beschluss von 1933^[2] und folgenden Arbeiten zur Vergleichsmessung wurden 1948 die „internationalen“ Einheiten aufgegeben.^[1]^[3]

Giovanni Giorgi zeigte 1901, dass man die mechanischen und elektromagnetischen Einheiten zu einem System mit ganzzahligen Exponenten zusammenführen kann, indem man eine vierte Basiseinheit einführt, zum Beispiel Ampere oder Ohm, und die Gleichungen der Elektrodynamik umformuliert. Dabei wird die Einführung einer weiteren Konstante neben $c$ notwendig. 1954 beschloss die Generalkonferenz für Maß und Gewicht, das MKS-System (Meter, Kilogramm, Sekunde) um die Basiseinheit Ampere zu erweitern.^[4] Dadurch entstand das MKSA-System, das sich zum Internationalen Einheitensystem (SI) weiterentwickelte.^{[A 2]} Wegen der Beziehung

1 V · 1 A = 10⁷ erg/s = 1 J/s

konnte man Ampere, Ohm etc. aus dem CGS-System übernehmen, ohne dass Zehnerpotenzen als numerische Vorfaktoren auftraten;^[5] das zum MKSA erweiterte MKS-System behielt also seine Kohärenz.

Vergleich der Einheitensysteme

Elektrostatisches CGS-System

Das Elektrostatische Einheitensystem (kurz: esE, oder ESU für electrostatic units) ist für eine möglichst einfache Beschreibung des Coulomb-Gesetzes ausgelegt und setzt ${\textstyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$ . Hier ist $k_{1}=k_{3}=1$ und damit $k_{2}=c^{-2}$ .

Elektromagnetisches CGS-System

Das Elektromagnetische Einheitensystem (kurz: emE, oder EMU für electromagnetic units) ist für eine möglichst einfache Beschreibung des Ampèrschen Kraftgesetzes ausgelegt und setzt ${\textstyle F=2{\frac {I_{1}I_{2}\ell }{d}}}$ . Hier ist $k_{2}=k_{3}=1$ und damit $k_{1}=c^{2}$ .

Gaußsches Einheitensystem

Das Gaußsche Einheitensystem kombiniert das elektrostatische und das elektromagnetische System. Es wählt wie das elektrostatische System $k_{1}=1$ und damit $k_{2}=c^{-2}$ und sodann $k_{3}=c^{-1}$ . Elektrische Größen (Ladung, Strom, Spannung, elektrische Feldstärke, ..., meistens^{[A 3]} auch Induktivität) haben im Gauß-System dieselbe Dimension wie im esE; magnetische Größen (magn. Feldstärke, Permeabilität, ...) dieselbe Dimension wie im emE. Damit wird erreicht, dass die Lichtgeschwindigkeit in den Maxwell-Gleichungen in symmetrischer Form auftritt und dass elektrische und magnetische Feldstärke dieselbe Dimension haben. Das Gauß-System entwickelte sich zur de-facto-Standardvariante der CGS-Systeme.

Heaviside-Lorentz-System

Aufgrund seiner historischen Entwicklung folgt das Gauß-System keiner einheitlichen Logik den Faktor 4π betreffend.^{[A 4]} Das Heaviside-Lorentz-Einheitensystem (HLE) korrigiert dies, indem es $k_{1}=\textstyle {\frac {1}{4\pi }}$ setzt. Dadurch ergibt sich ein rationalisiertes Einheitensystem: Die Maxwell-Gleichungen werden symmetrischer, und der Faktor 4π erscheint nur in Fällen von Kugelsymmetrie. Das System konnte sich jedoch nicht durchsetzen, weil das Gauß-System bereits zu stark etabliert war.

MKSA-System (SI)

Da das MKSA-System im Vergleich zu den CGS-Systemen eine zusätzliche vierte Basisgröße hat, tritt hier neben ${\textstyle c}$ eine weitere dimensionsbehaftete Konstante auf, die magnetische Feldkonstante ${\textstyle \mu _{0}}$ . In Formeln zur Elektrodynamik verwendet man anstelle von ${\textstyle c}$ und ${\textstyle \mu _{0}}$ üblicherweise die Konstanten ${\textstyle \varepsilon _{0}}$ und ${\textstyle \mu _{0}}$ , wobei ${\textstyle \varepsilon _{0}=1/\mu _{0}c^{2}}$ die elektrische Feldkonstante ${\textstyle \varepsilon _{0}}$ ist. Das SI setzt ${\textstyle k_{1}=1/{4\pi \varepsilon _{0}}}$ , ${\textstyle k_{2}={\mu _{0}}/{4\pi }}$ und ${\textstyle k_{3}=1}$ .

Anders als in den CGS-Systemen haben im SI die elektrische Feldstärke E und die elektrische Flussdichte D sowie die magnetische Feldstärke H und die magnetische Flussdichte B jeweils unterschiedliche Dimensionen. Aufgrund der unterschiedlichen Formulierung der fundamentalen Gleichungen sind auch die Einheiten nicht immer durch denselben Umrechnungsfaktor verbunden.^{[A 4]}

Bis 2018 war das Ampere entsprechend seiner Herkunft aus dem elektromagnetischen CGS-System über das ampèresche Kraftgesetz definiert. Dadurch hatte die magnetische Feldkonstante den exakten Wert ${\textstyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}{\mathrm {N} }\mathrm {A} ^{-2}}$ , und als 1983 mit einer neuen Definition des Meters auch ${\textstyle c}$ festgelegt wurde, bekam ${\textstyle \varepsilon _{0}}$ dadurch ebenfalls einen exakten Wert. Mit der Revision des SI-Einheitensystems im Jahr 2019 wurde das Ampere neu definiert.^[6] Seitdem sind ${\textstyle \mu _{0}}$ und ${\textstyle \varepsilon _{0}}$ mit Messunsicherheit behaftete Messgrößen.^[6]^{[A 1]}

Wichtige Formeln

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Gestalt der wichtigsten Gleichungen der Elektrodynamik in den verschiedenen Einheitensystemen:

Thema	Formel	Konstante K (bzw. K_a und K_b)
Thema	Formel	SI	esE	emE	Gauß	HLE
Coulomb- Gesetz	${\vec {F}}=K{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}$	${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$	$1$	$c^{2}$	$1$	${\frac {1}{4\pi }}$
Ampèresches Kraftgesetz	$F=2K{\frac {I_{1}I_{2}\ell }{d}}$	${\frac {\mu _{0}}{4\pi }}$	$c^{-2}$	$1$	$c^{-2}$	${\frac {1}{4\pi c^{2}}}$
Lorentz-Kraft	${\vec {F}}=K\,q\,{\vec {v}}\times {\vec {B}}$	$1$	$1$	$1$	$c^{-1}$	$c^{-1}$
Biot-Savart-Gesetz für Punktladung	${\vec {B}}=K\,q{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {e}}_{r}}{r^{2}}}$	${\frac {\mu _{0}}{4\pi }}$	$c^{-2}$	$1$	$c^{-1}$	${\frac {1}{4\pi c}}$
Elektrische Polarisation	${\vec {D}}=K_{a}{\vec {E}}+K_{b}{\vec {P}}$	$\varepsilon _{0}$ , $1$	$1$ , $4\pi$	$c^{-2}$ , $4\pi$	$1$ , $4\pi$	$1$ , $1$
Magnetisierung	${\vec {B}}=K_{a}{\vec {H}}+K_{b}{\vec {M}}$	$\mu _{0}$ , $\mu _{0}$	$c^{-2}$ , $4\pi c^{-2}$	$1$ , $4\pi$	$1$ , $4\pi$	$1$ , $1$
mikroskopische Maxwell- Gleichungen	${\vec {\nabla }}{\vec {E}}=K\rho$	${\frac {1}{\varepsilon _{0}}}$	$4\pi$	$4\pi c^{2}$	$4\pi$	$1$
	${\vec {\nabla }}{\vec {B}}=0$	–	–	–	–	–
	${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-K{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$1$	$1$	$1$	$c^{-1}$	$c^{-1}$
	${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=K_{a}{\vec {j}}+K_{b}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$	$\mu _{0},$ $\mu _{0}\varepsilon _{0}$	$4\pi c^{-2},$ $c^{-2}$	$4\pi$ , $c^{-2}$	$4\pi c^{-1},$ $c^{-1}$	$c^{-1},$ $c^{-1}$

Für die Umrechnung von Größen und Formeln zwischen Gauß-System und MKSA-System siehe Gaußsches Einheitensystem.

Elektromagnetische Einheiten in verschiedenen Systemen

Größe		Einheit							in Basiseinheiten
Größe		SI		esE		Gauß	emE		SI	Gauß
elektr. Ladung	Q	1 Coulomb (C)	= A·s	3·10⁹		statC (Fr)	10⁻¹	abC	A·s	g^1/2·cm^3/2·s⁻¹
elektr. Stromstärke	I	1 Ampere (A)	= C/s	3·10⁹		statA	10⁻¹	abA (Bi)	A	g^1/2·cm^3/2·s⁻²
elektr. Spannung	U	1 Volt (V)	= W/A	¹⁄₃·10⁻²		statV	10⁸	abV	kg·m²·s⁻³·A⁻¹	g^1/2·cm^1/2·s⁻¹
elektr. Feldstärke	E	1 V/m	= N/C	¹⁄₃·10⁻⁴		statV/cm	10⁶	abV/cm	kg·m·s⁻³·A⁻¹	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
elektr. Flussdichte	D	1 C/m²		4π·3·10⁵		statC/cm²	4π·10⁻⁵	abC/cm²	A·s·m⁻²	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
elektr. Polarisation	P	1 C/m²		3·10⁵		statC/cm²	10⁻⁵	abC/cm²	A·s·m⁻²	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
elektr. Dipolmoment	p	1 C·m		3·10¹¹		statC·cm	10¹	abC·cm	A·s·m	g^1/2·cm^5/2·s⁻¹
elektr. Widerstand	R	1 Ohm (Ω)	= V/A	¹⁄₉·10⁻¹¹		s/cm	10⁹	abΩ	kg·m²·s⁻³·A⁻²	cm⁻¹·s
elektr. Leitwert	G	1 Siemens (S)	= 1/Ω	9·10¹¹		cm/s	10⁻⁹	s/cm	kg⁻¹·m⁻²·s³·A²	cm·s⁻¹
spezifischer elektr. Widerstand	ρ	1 Ω·m		¹⁄₉·10⁻⁹		s	10¹¹	abΩ·cm	kg·m³·s⁻³·A⁻²	s
elektr. Kapazität	C	1 Farad (F)	= C/V	9·10¹¹		cm	10⁻⁹	abF	kg⁻¹·m⁻²·s⁴·A²	cm
Induktivität	L	1 Henry (H)	= Wb/A	¹⁄₉·10⁻¹¹		statH	10⁹	abH (cm)	kg·m²·s⁻²·A⁻²	cm⁻¹·s²
magn. Flussdichte	B	1 Tesla (T)	= Wb/m²	¹⁄₃·10⁻⁶	statT	10⁴	G		kg·s⁻²·A⁻¹	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
magn. Fluss	Φ	1 Weber (Wb)	= V·s	¹⁄₃·10⁻²	statT·cm²	10⁸	G·cm² (Mx)		kg·m²·s⁻²·A⁻¹	g^1/2·cm^3/2·s⁻¹
magn. Feldstärke	H	1 A/m		4π·3·10⁷	statA/cm	4π·10⁻³	Oe		A·m⁻¹	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
Magnetisierung	M	1 A/m		3·10⁷	statA/cm	10⁻³	Oe		A·m⁻¹	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
magn. Spannung, Durchflutung	V_m Θ	1 A		4π·3·10⁹	statA	4π·10⁻¹	Oe·cm (Gb)		A	g^1/2·cm^1/2·s⁻¹
magn. Dipolmoment	m	1 A·m²	= J/T	3·10¹³	statA·cm²	10³	abA·cm² (= erg/G)		m²·A	g^1/2·cm^5/2·s⁻¹

Die Einheiten des esE und emE unterscheiden sich um den Faktor c bzw. c², wobei c = 2,998…·10¹⁰ cm/s (hier gerundet auf 3·10¹⁰) die Lichtgeschwindigkeit ist.

Literatur

John David Jackson: Classical Electrodynamics. Appendix on Units and Dimensions (auch auf Deutsch erschienen unter dem Titel Klassische Elektrodynamik).

Weblinks

Wikisource: Bekanntmachung, betreffend die Ausführung des Gesetzes über die elektrischen Maßeinheiten (Deutschland, 1901) – Quellen und Volltexte

Unit Systems in Electromagnetism – Guide der Universität Surrey

Einzelnachweise

↑ ^a ^b CIPM, rapport de la 41^e séance. Bureau International des Poids et Mesures, 1946, S. 129, abgerufen am 27. Oktober 2020 (französisch). In Resolution Nr. 1 beschloss das Internationale Komitee für Maß und Gewicht, ab dem 1. Januar 1948 die absoluten Einheiten als Grundlage der elektromagnetische Einheiten zu nehmen, mit der Umrechnung 1 Ω_int = 1,00049 Ω_abs und 1 V_int = 1,00034 V_abs.
↑ Resolution 10 of the 8th CGPM. Substitution des unités électriques absolues aux unités dites « internationales ». Bureau International des Poids et Mesures, 1933, abgerufen am 15. April 2021 (französisch).
↑ Tagungsbericht der 9. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, 1948, Seite 49 (französisch)
↑ Resolution 6 of the 10th CGPM. Practical system of units. Bureau International des Poids et Mesures, 1954, abgerufen am 15. April 2021 (englisch).
↑ Protokoll der 5. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, 1913, Seite 51 („par un hasard extrêmement heureux, les unités fondamentales du travail et de la puissance dans le Système M. K. S. sont précisément celles auxquelles a conduit le Système des électriciens.“ „Durch einen extrem glücklichen Zufall sind die fundamentalen Einheiten der Arbeit und der Leistung im MKS-System gerade diejenigen, die man aus dem System der Elektriker erhält.“), abgerufen am 13. Juni 2021, französisch
↑ ^a ^b Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI). Bureau International des Poids et Mesures, 2018, abgerufen am 15. April 2021 (englisch).

Anmerkungen

↑ ^a ^b Die Lichtgeschwindigkeit dient seit 1983 zur Definition des Meters und wurde dafür auf einen festen Wert gesetzt. Umgekehrt war bis 2019 nach der damals gültigen Definition des Amperes der Wert von ${\textstyle \mu _{0}}$ exakt festgelegt und ist heute ein experimentell zu ermittelnder Wert. Ob die Basiseinheiten durch Festlegung der Konstanten oder anderweitig definiert sind, ist jedoch für die hier diskutierten Betrachtungen bedeutungslos.
↑ Den Namen „SI“ erhielt das internationale Einheitensystem erst 1960.
↑ In einer Variante des Gauß-Systems wird die Einheit der Induktivität aus dem emE entlehnt, siehe Henry (Einheit)#Bezug zu CGS-Einheiten.
↑ ^a ^b Ein Beispiel ist der Zusammenhang zwischen der magnetischen Flussdichte B und der magnetischen Feldstärke H: Im SI lautet die Beziehung ${\textstyle B=\mu _{0}(H+M)}$ und im Heaviside-Lorenz-System ${\textstyle B=H+M}$ . Im Gauß-System hingegen hat die Magnetisierung M den Vorfaktor 4π: ${\textstyle \,B=H+4\pi M}$ . Dadurch ist auch die magnetische Suszeptibilität – obwohl sie eine Größe der Dimension Zahl ist – unterschiedlich: ${\textstyle \chi _{m}^{\mathrm {SI} }=4\pi \chi _{m}^{\mathrm {Gauss} }\,.}$

[CIPM1946-2] CIPM, rapport de la 41^e séance. Bureau International des Poids et Mesures, 1946, S. 129, abgerufen am 27. Oktober 2020 (französisch). In Resolution Nr. 1 beschloss das Internationale Komitee für Maß und Gewicht, ab dem 1. Januar 1948 die absoluten Einheiten als Grundlage der elektromagnetische Einheiten zu nehmen, mit der Umrechnung 1 Ω_int = 1,00049 Ω_abs und 1 V_int = 1,00034 V_abs.

[CGPM-8-10-3] Resolution 10 of the 8th CGPM. Substitution des unités électriques absolues aux unités dites « internationales ». Bureau International des Poids et Mesures, 1933, abgerufen am 15. April 2021 (französisch).

[CGPM1948-S49-4] Tagungsbericht der 9. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, 1948, Seite 49 (französisch)

[CGPM-10-6-5] Resolution 6 of the 10th CGPM. Practical system of units. Bureau International des Poids et Mesures, 1954, abgerufen am 15. April 2021 (englisch).

[CGPM5-7] Protokoll der 5. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, 1913, Seite 51 („par un hasard extrêmement heureux, les unités fondamentales du travail et de la puissance dans le Système M. K. S. sont précisément celles auxquelles a conduit le Système des électriciens.“ „Durch einen extrem glücklichen Zufall sind die fundamentalen Einheiten der Arbeit und der Leistung im MKS-System gerade diejenigen, die man aus dem System der Elektriker erhält.“), abgerufen am 13. Juni 2021, französisch

[CGPM-26-1-A2-10] Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI). Bureau International des Poids et Mesures, 2018, abgerufen am 15. April 2021 (englisch).

[fest-konst-1] Die Lichtgeschwindigkeit dient seit 1983 zur Definition des Meters und wurde dafür auf einen festen Wert gesetzt. Umgekehrt war bis 2019 nach der damals gültigen Definition des Amperes der Wert von ${\textstyle \mu _{0}}$ exakt festgelegt und ist heute ein experimentell zu ermittelnder Wert. Ob die Basiseinheiten durch Festlegung der Konstanten oder anderweitig definiert sind, ist jedoch für die hier diskutierten Betrachtungen bedeutungslos.

[SI1960-6] Den Namen „SI“ erhielt das internationale Einheitensystem erst 1960.

[Henry-8] In einer Variante des Gauß-Systems wird die Einheit der Induktivität aus dem emE entlehnt, siehe Henry (Einheit)#Bezug zu CGS-Einheiten.

[Magn-9] Ein Beispiel ist der Zusammenhang zwischen der magnetischen Flussdichte B und der magnetischen Feldstärke H: Im SI lautet die Beziehung ${\textstyle B=\mu _{0}(H+M)}$ und im Heaviside-Lorenz-System ${\textstyle B=H+M}$ . Im Gauß-System hingegen hat die Magnetisierung M den Vorfaktor 4π: ${\textstyle \,B=H+4\pi M}$ . Dadurch ist auch die magnetische Suszeptibilität – obwohl sie eine Größe der Dimension Zahl ist – unterschiedlich: ${\textstyle \chi _{m}^{\mathrm {SI} }=4\pi \chi _{m}^{\mathrm {Gauss} }\,.}$

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