Einteilchenproblem

Das Einteilchenproblem behandelt den einfachsten Fall einer physikalischen Wechselwirkung eines Teilchens mit einem Kraftfeld. Das Feld ist normalerweise durch ein Potential ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$ gegeben, so dass die potentielle Energie nur vom Ort des Teilchens abhängt. Dabei geht man davon aus, dass das Feld unabhängig vom Teilchen existiert und durch die Bewegung des Teilchens nicht beeinflusst wird. In einer Dimension lässt sich das Einteilchenproblem mit dem Energiesatz durch eine einfache Integration und anschließende Inversion lösen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+V(x)&=E\\\Leftrightarrow {\frac {dx}{dt}}&={\sqrt {{\frac {2}{m}}\left[E-V(x)\right]}}\\\Rightarrow \int _{t_{0}}^{t}{\frac {dx}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left[E-V(x)\right]}}}&=t-t_{0}\end{aligned}}}$

In höheren Dimensionen lässt sich dieser Trick anwenden, wenn weitere Symmetrien und daraus folgende Erhaltungsgrößen vorliegen, wie zum Beispiel der Drehimpuls beim Zentralpotential, siehe auch das Keplerproblem.