Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante ${\displaystyle \lambda }$ existiert, so dass

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y)}$

gilt. Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}}$ der (0,2)-Ricci-Tensor und ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M}$ für jedes ${\displaystyle p\in M.}$ Die pseudo-riemannsche Metrik ${\displaystyle g}$ heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

• Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen ${\displaystyle n\geq 4}$ von eigenständigem Interesse, da sie für ${\displaystyle n=2}$ und ${\displaystyle n=3}$ mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

• Sei ${\displaystyle n\geq 3.}$ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes ${\displaystyle p\in M}$ eine Konstante ${\displaystyle \lambda _{p}}$ (in Abhängigkeit von ${\displaystyle p\,}$) existiert, so dass

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda _{p}\,g_{p}(X,Y)}$

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier ${\displaystyle \lambda }$ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

• Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante ${\displaystyle \lambda }$ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante ${\displaystyle \lambda }$.

• Die Definition der Einsteinmetrik ${\displaystyle g}$ ergibt sich aus der Aussage, dass ${\displaystyle g}$ eine Lösung der einsteinschen Vakuumfeldgleichungen

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)-{\frac {1}{2}}\,g_{p}(X,Y)\,s_{p}+g_{p}(X,Y)\,\Lambda =0}$

mit der kosmologischen Konstante ${\displaystyle \Lambda }$ und der Skalarkrümmung ${\displaystyle s_{p}}$ ist. Durch Spurbildung in der Gleichung ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y)}$ erhält man

${\displaystyle s_{p}=n\lambda ,}$

dabei bezeichnet ${\displaystyle n\,}$ die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).