Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren dient zur Lösung von Gleichungssystemen. Die Idee bei diesem Verfahren ist, eine der Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen und diese Variable dann in die anderen Gleichungen einzusetzen. Dadurch wird eine Variable eliminiert.

Dieses Verfahren lässt sich auch bei größeren oder nichtlinearen Gleichungssystemen anwenden, es wird dann aber schnell unübersichtlich. Wenn man allerdings nach dem folgenden Algorithmus vorgeht, kann man auch bei großen Gleichungssystemen den Überblick behalten:

Es existieren ${\displaystyle n}$ Gleichungen mit ${\displaystyle n}$ Variablen.

• Schritt 1: Auflösen der ersten Gleichung (einer beliebigen Gleichung) zur letzten Variablen.
• Schritt 2: Einsetzen dieser Gleichung in alle anderen Gleichungen.

Es entsteht ein Gleichungssystem mit ${\displaystyle n-1}$ Variablen. Die Schritte 1 und 2 werden so lange ausgeführt, bis nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrigbleibt.

Nun setzt man von unten alle Variablen ein.

Hinweis: Da beim Einsetzen unübersichtliche Ausdrücke entstehen, ist es zweckmäßig, zwischendurch Vereinfachungen zu machen. Wenn man Konstanten zusammenfassen kann, sollte man dies tun. Brüche mit Konstanten sollten gegebenenfalls zu einer neuen Konstante zusammengefasst werden: Zum Beispiel (a + b + c)/(e + f) = h, wobei a, b, c, e, f, h alle konstant sind.

Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:

• Schritt 1: Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen
• Schritt 2: Einsetzen dieser Variablen in die andere Gleichung
• Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen
• Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformte Gleichung

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

${\displaystyle {\begin{matrix}({\text{I}})&12x&-&5y&=&29\\({\text{II}})&18x&+&2y&=&34\end{matrix}}}$

Schritt 1:

Eine der beiden Gleichungen muss nach ${\displaystyle x}$ oder ${\displaystyle y}$ aufgelöst werden. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach ${\displaystyle y}$ aufgelöst.

${\displaystyle {\begin{matrix}({\text{II}})&18x&+&2y&=&34&|&-18x\\({\text{II}})&&&2y&=&34-18x&|&:2\\({\text{II}})&&&y&=&17-9x\end{matrix}}}$

Schritt 2:

Danach lässt sich in der ersten Gleichung das ${\displaystyle y}$ durch den Term ${\displaystyle (17-9x)}$ ersetzen:

${\displaystyle {\begin{matrix}({\text{II in I}})&12x&-&5\cdot (17-9x)&=&29\end{matrix}}}$

Schritt 3:

Diese Gleichung kann man nun nach ${\displaystyle x}$ auflösen.

${\displaystyle {\begin{matrix}12x-5\cdot (17-9x)&=&29&|&{\text{Klammer aufloesen}}\\12x-85+45x&=&29&|&{\text{zusammenfassen}}\\57x-85&=&29&|&+85\\57x&=&114&|&:57\\x&=&2\end{matrix}}}$

Schritt 4:

Die Lösung ${\displaystyle x=2}$ wird in die umgestellte Gleichung (II) eingesetzt:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=2{\text{ in (II) einsetzen:}}&y&=&17-9\cdot 2\\&y&=&-1\end{matrix}}}$

Und geprüft:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Probe:}}&({\text{I}})&12\cdot 2-5\cdot (-1)&=&29\\&&24-(-5)&=&29&{\text{wahr}}\\&({\text{II}})&18\cdot 2+2\cdot (-1)&=&34\\&&36+(-2)&=&34&{\text{wahr}}\end{matrix}}}$

Die Lösungsmenge ist somit: ${\displaystyle \mathbb {L} =\{(2|{-1})\}}$.

• Gleichsetzungsverfahren
• Additionsverfahren