Größe der Dimension Zahl

Eine Größe der Dimension Zahl ist eine physikalische Größe, die durch eine reine Zahl angegeben werden kann. Gemäß dem Internationalen Einheitensystem (SI)^[1], auch EN ISO 80000, ist die kohärente abgeleitete Einheit für diese Größen die Zahl Eins. Das Einheitenzeichen ist 1,^[2][3] es wird aber fast immer weggelassen. Für viele dieser Größen können der Deutlichkeit halber Hilfsmaßeinheiten verwendet werden.

Die Benennung dimensionslose Größe wird in EN ISO 80000 als „veraltet“ bezeichnet, sie sollte nicht mehr verwendet werden. Nach dem Konzept des Internationalen Größensystems hat jede physikalische Größe eine Dimension. Eine Beschreibung als „dimensionslose Größe“ ist damit nicht vereinbar.^{[A 1]}

Der hier mit Dimension gemeinte Begriff ist im Sinne von Dimension (Größensystem) wie etwa „Länge“ zu verstehen, nicht im Sinne von Dimension (Mathematik) wie etwa in „dreidimensionaler Raum“.

Beispiele für Größen der Dimension Zahl sind:

• Anzahlen, auch wenn sie in einem Zählmaß wie beispielsweise Dutzend angegeben sind, mit Ausnahme von Stoffmengen, die ihre eigene Dimension haben.
• Kennzahlen der Dimension Zahl (auch als Kenngrößen bezeichnet) wie die Mach-Zahl oder Reynolds-Zahl
• Ebene Winkel und Raumwinkel (Angabe ohne Einheit oder mit den abgeleiteten SI-Einheiten mit besonderem Namen Radiant bzw. Steradiant)
• Quotienten aus zwei dimensionsgleichen Größen. Beispiele sind Permeabilitätszahl, Brechungsindex, Massenanteil, Wirkungsgrad. Diese Zahlen (vorzugsweise wenn kleiner als eins) werden auch in Hilfsmaßeinheiten wie Prozent, Promille, ppm angegeben
• Logarithmische Größenverhältnisse (mit Einheiten wie Bel, Neper, Phon), pH-Wert
• Quantenzahlen
• Wahrscheinlichkeiten

Eine Naturkonstante mit der Dimension Zahl ist die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante, die sich aus elektrischer Elementarladung, Planckschem Wirkungsquantum und der Lichtgeschwindigkeit zusammensetzt. Ihr Wert beträgt etwa 1/137.

Auch bei der Verwendung natürlicher Einheiten in manchen Teilgebieten der theoretischen Physik ist es üblich, die betreffenden Größen formal als Größen der Dimension Zahl zu behandeln.

Nach DIN 5485 Benennungsgrundsätze für physikalische Größen; Wortzusammensetzungen mit Eigenschafts- und Grundwörtern, die Regeln zur Neubenennung von physikalischen Größen enthält, für die noch kein Name vorliegt, ist für Größen der Dimension Zahl vorgesehen:

• -anteil
• -beiwert
• -faktor
• -grad
• -quote
• -verhältnis
• -zahl

Historische Benennungen solcher Größen enthalten auch die Endungen ‑modul oder ‑index.

An der Endung ‑koeffizient ist die Dimension nicht zu erkennen. So hat der Reibungskoeffizient die Dimension Zahl, aber der Wärmeausdehnungskoeffizient hat die Dimension „pro Temperatur“.

Im internationalen Größensystem ISQ mit seinen sieben Basisgrößen und sieben Dimensionen mit den Dimensionszeichen ${\displaystyle {\mathsf {T,L,M,I,\Theta ,N,J}}}$ hat jede Größe ${\displaystyle Q}$ die Dimension^[1]

${\displaystyle \dim Q={\mathsf {T}}^{\alpha }\ {\mathsf {L}}^{\beta }\ {\mathsf {M}}^{\gamma }\ {\mathsf {I}}^{\delta }\ {\mathsf {\Theta }}^{\varepsilon }\ {\mathsf {N}}^{\zeta }\ {\mathsf {J}}^{\eta }\ .}$

Eine Größe, bei der jeder Dimensionsexponent null ist, also mit ${\displaystyle \dim Q={\mathsf {1}}}$, wird als Größe der Dimension Zahl bezeichnet, und ihr Wert wird durch eine Zahl angegeben. Zu diesen Größen gehören solche, die als Quotient zweier Größen derselben Dimension definiert sind, und solche als Anzahl.

Grundsätzlich hängt es von der für ein Größensystem gewählten Basis ab, welche abgeleiteten Größen welche Dimension haben, und somit auch, welche Größen (außer den Quotienten dimensionsgleicher Größen) die Dimension Zahl haben. So sind im elektrostatischen und im gaußschen CGS-System die elektrische Kapazität und die Länge von gleicher Dimension. Jeder Quotient dieser Größen hat daher die Dimension Zahl.

• Dimensionsanalyse
• Entdimensionalisierung

1. ↑ Die nicht ganz exakte Bezeichnung „dimensionslos“ hat den Vorzug, dass sie kurz und dennoch unmissverständlich ist. Sie findet daher weiterhin Verwendung – nicht nur umgangssprachlich, sondern auch im offiziellen Sprachgebrauch. So hat ein Gremium des Consultative Committee for Units (CCU) des BIPM die Bezeichnung Working Group on Angles and Dimensionless Quantities.

1. ↑ ^{a b} Le Système international d’unités [1], 9. Ausgabe, 2019, aktualisiert 2022. BIPM, die sogenannte SI-Broschüre (englisch, französisch). Kap. 2.3.3.
2. ↑ DIN EN ISO 80000-1:2013, Größen und Einheiten – Allgemeines, Kap. 3.8 und 5.
3. ↑ DIN EN ISO 80000-11:2013, Größen und Einheiten − Kenngrößen der Dimension Zahl, Kap. 0.3.