Einfarbige Lösung

Im mathematischen Teilgebiet der diskreten Zahlentheorie insbesondere in der Ramsey-Theorie beschreibt der Begriff einfarbige Lösung die Eigenschaft bestimmter Zahlen einer gefärbten Zahlenmenge ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{k}\in [1,n]\subseteq \mathbb {N} }$ gleich gefärbt zu sein und eine bestimmte Gleichung ${\displaystyle f(x)}$ zu erfüllen.

Definition

Sei ${\displaystyle \chi }$ eine ${\displaystyle r}$-Färbung einer Menge von positiven Ganzzahlen und ${\displaystyle f}$ eine Gleichung in Abhängigkeit von den Variablen ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{n}}$. ${\displaystyle \chi }$ besitzt genau dann eine einfarbige Lösung unter ${\displaystyle f}$, wenn Werte für ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{n}}$ existieren, die ${\displaystyle f}$ erfüllen und die gleiche Färbung unter ${\displaystyle \chi }$ besitzen.^[1]

Eigenschaften

• Obige Definition erlaubt die Darstellung ${\displaystyle f:c_{1}x_{1}+\ldots +c_{n-1}x_{n-1}=x_{n}}$, wobei die ${\displaystyle c_{i}}$ beliebige Faktoren sein können.
• Spezialfälle von ${\displaystyle f}$ haben aufgrund ihrer Bedeutung einen Namen erhalten. So heißen beispielsweise Zahlen ${\displaystyle {x,y,z}}$ mit x + y = z Schur-Tripel.
• Für ${\displaystyle n=3}$ beschreibt ${\displaystyle f}$ eine Ebene im dreidimensionalen Anschauungsraum.

Beispiele

Der Satz von Van der Waerden sichert die Existenz der Van-der-Waerden-Zahlen, insbesondere von ${\displaystyle w(3,r)}$, der Zahl, für die es in der ${\displaystyle r}$-Färbung einer Zahlenmenge mit ${\displaystyle w(3,r)}$ Elementen stets eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt. Wir können diese Zahlen als ${\displaystyle \{a,a+d,a+2d\}}$ schreiben. Wir wählen anschließend ${\displaystyle x=a,y=a+2d}$ und ${\displaystyle z=a+d}$. Es entsteht als einfarbige Lösung die Gleichung ${\displaystyle x+y=2z}$ mit ${\displaystyle x\not =y}$, eine Ebenengleichung.

Ein weiteres Beispiel und Färbungsproblem der Ebene untersuchen die Schur-Zahlen.

Einzelnachweise

1. ↑ Anusch Taraz: Diskrete Mathematik: Grundlagen und Methoden. 2012. Auflage. Birkhäuser, 2012, ISBN 978-3-7643-8898-0, S. 81 f.