Einfarbige Lösung

Im mathematischen Teilgebiet der diskreten Zahlentheorie insbesondere in der Ramsey-Theorie beschreibt der Begriff einfarbige Lösung die Eigenschaft bestimmter Zahlen einer gefärbten Zahlenmenge gleich gefärbt zu sein und eine bestimmte Gleichung zu erfüllen.

Definition

Sei eine -Färbung einer Menge von positiven Ganzzahlen und eine Gleichung in Abhängigkeit von den Variablen . besitzt genau dann eine einfarbige Lösung unter , wenn Werte für existieren, die erfüllen und die gleiche Färbung unter besitzen.[1]

Eigenschaften

  • Obige Definition erlaubt die Darstellung , wobei die beliebige Faktoren sein können.
  • Spezialfälle von haben aufgrund ihrer Bedeutung einen Namen erhalten. So heißen beispielsweise Zahlen mit x + y = z Schur-Tripel.
  • Für beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Anschauungsraum.

Beispiele

Der Satz von Van der Waerden sichert die Existenz der Van-der-Waerden-Zahlen, insbesondere von , der Zahl, für die es in der -Färbung einer Zahlenmenge mit Elementen stets eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt. Wir können diese Zahlen als schreiben. Wir wählen anschließend und . Es entsteht als einfarbige Lösung die Gleichung mit , eine Ebenengleichung.

Ein weiteres Beispiel und Färbungsproblem der Ebene untersuchen die Schur-Zahlen.

Einzelnachweise

  1. Anusch Taraz: Diskrete Mathematik: Grundlagen und Methoden. 2012. Auflage. Birkhäuser, 2012, ISBN 978-3-7643-8898-0, S. 81 f.