Eigentliche Abbildung

Eine eigentliche Abbildung ist eine stetige Abbildung, die in der mengentheoretischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht wird.

Definitionen

Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert von Autor zu Autor. Hier werden deshalb zwei gebräuchliche Definitionen vorgestellt.

• Eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei lokalkompakten Räumen heißt eigentlich, wenn das Urbild jeder kompakten Menge kompakt ist.

Eine weitere und allgemeinere Definition ist:

• Eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei topologischen Räumen heißt eigentlich, genau dann wenn für jeden beliebigen topologischen Raum Z die Abbildung ${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z,(x,z)\mapsto (f(x),z)}$ abgeschlossen ist.

Die zweite Definition ist äquivalent zur ersten, wenn ${\displaystyle X}$ ein Hausdorff-Raum und ${\displaystyle Y}$ ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Beispiele

• Ist die Definitionsmenge ${\displaystyle X}$ kompakt, so ist jede stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eigentlich.
• Jeder Homöomorphismus ist eigentlich, also auch jeder Diffeomorphismus und jede biholomorphe Abbildung.

Eigenschaften

• Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, das heißt, das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.
• Die Einschränkung ${\displaystyle f|A\colon A\to Y}$ eigentlicher Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ auf einen abgeschlossen Unterraum ${\displaystyle A\subseteq X}$ ist immer eigentlich.
• Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der Kategorie der stetigen Funktionen.
• Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}}$ topologische Räume und sind ${\displaystyle f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1},f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}}$ eigentliche Abbildungen, so ist ${\displaystyle f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}}$ wieder eine eigentliche Abbildung.
• Ist ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist ${\displaystyle B\subseteq Y}$ kompakt, so ist ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ kompakt in ${\displaystyle X}$.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Raum und ${\displaystyle Y}$ ein beliebiger topologischer Raum und ${\displaystyle X\times Y}$ das topologische Produkt, dann ist die Projektion ${\displaystyle \pi _{Y}\colon X\times Y\to Y,(x,y)\mapsto y}$ eine eigentliche Abbildung.

Anwendungen

Eigentliche Abbildungen liefern ein Kriterium für die Kompaktheit eines topologischen Raumes: Sei ${\displaystyle P}$ ein einelementiger topologischer Raum mit der einzigen existierenden Topologie. Dann gilt: Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann kompakt, wenn die konstante Abbildung ${\displaystyle p\colon X\to P}$ eigentlich ist. Hieraus folgen die letzten beiden genannten Eigenschaften.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
• Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4.