Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Definition

Sei ein Vektorraum über einem Körper und ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung . Der Eigenraum zum Eigenwert von ist dann

Dabei bezeichnet die Identitätsabbildung auf .

Man sagt dann auch, ist invariant bezüglich des Endomorphismus oder ist ein -invarianter Untervektorraum von . Die Elemente von sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert von , sowie der Nullvektor.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums wird als geometrische Vielfachheit von bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von . Wenn die Dimension des Eigenraums größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

Eigenschaften

  • Existiert ein Eigenwert von , so ist der zugehörige Eigenraum gleich dem Kern von . Denn und nach Definition des Eigenraumes: .
  • Die Summe von Eigenräumen zu paarweise verschiedenen Eigenwerten von ist direkt:
  • Gilt im obigen Fall , so besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von . In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix von bezüglich einer Basis von diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix von bezüglich einer Basis von aus Eigenvektoren von hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von stehen dann die Eigenwerte von :
  • Ist ein Prähilbertraum und selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

Literatur

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).