Durchschnittliche Größenordnung

In der Zahlentheorie bezeichnet die durchschnittliche Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere Funktion, die „im Mittel“ dieselben Werte annimmt.^[1][2]

Definition

Es sei ${\displaystyle f}$ eine zahlentheoretische Funktion. Man sagt, die durchschnittliche Größenordnung von ${\displaystyle f}$ ist ${\displaystyle g}$, wenn für ${\displaystyle n\to \infty }$ die asymptotische Gleichheit

${\displaystyle \sum _{x\leq n}f(x)\sim \sum _{x\leq n}g(x)}$

gilt. Es ist üblich, eine Näherungsfunktion zu wählen, die stetig und monoton ist. Aber auch damit ist sie keineswegs eindeutig bestimmt.

Beispiele

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₂(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₄(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₈(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₁

Werte und durchschnittliche Größenordnung von ω und Ω

Die durchschnittliche Größenordnung der Quadratsummen-Funktion ${\displaystyle r_{k}(n)}$ bestimmt man aus der Summe^[3]

${\displaystyle R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1}$.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer ${\displaystyle k}$-dimensionalen Kugel mit dem Radius ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich (mit der Landau’schen O-Notation) rekursiv ableiten

${\displaystyle R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})}$,

wobei die Konstanten ${\displaystyle V_{k}}$ die Volumina der ${\displaystyle k}$-dimensionalen Einheitskugeln sind:

${\displaystyle V_{1}=2,\;V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\frac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\frac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dotsc }$

Die durchschnittliche Größenordnung von ${\displaystyle r_{k}}$ ist damit ${\displaystyle r_{k}(n)\sim {\tfrac {k}{2}}V_{k}n^{{\tfrac {k}{2}}-1}}$, also z. B. ${\displaystyle r_{2}(n)\sim \pi }$.

Weitere Beispiele

• Die durchschnittliche Größenordnung der Eulerschen Phi-Funktion ${\displaystyle \varphi (n)}$ ist ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}n}$.
• Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion ${\displaystyle d(n):=\sigma _{0}(n)}$ ist ${\displaystyle \ln n}$. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \sum _{x\leq n}d(x)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}})}$.

• Die durchschnittliche Größenordnung der Teilerfunktion ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ für ${\displaystyle k>0}$ ist ${\displaystyle \zeta (k+1)\ n^{k}}$ mit der Riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (s)}$.
• Die durchschnittliche Größenordnung der Ordnung ${\displaystyle \Omega (n)}$, also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von ${\displaystyle n}$ wie auch von ${\displaystyle \omega (n)}$ als Anzahl der verschiedenen Primfaktoren ist ${\displaystyle \ln \ln n}$. Genauer gilt (Satz von Hardy und Ramanujan)

${\displaystyle \sum _{x\leq n}\omega (x)=n\ln \ln n+B_{1}n+o(n)}$

${\displaystyle \sum _{x\leq n}\Omega (x)=n\ln \ln n+B_{2}n+o(n)}$

mit den Konstanten ${\displaystyle B_{1}=0{,}26149\dots }$ (Mertens-Konstante) und ${\displaystyle B_{2}=1{,}03465\dots }$

Für beide Funktionen sind außerdem durchschnittliche und normale Größenordnung gleich.

• Der Primzahlsatz ist äquivalent zur Feststellung, dass die durchschnittliche Größenordnung der Mangoldtfunktion ${\displaystyle \Lambda (n)}$ gleich ${\displaystyle 1}$ ist.
• Der Primzahlsatz ist auch äquivalent zur Feststellung, dass die durchschnittliche Größenordnung der Möbiusfunktion ${\displaystyle \mu (n)}$ gleich ${\displaystyle 0}$ ist.

Siehe auch

• Spezielle zahlentheoretische Funktionen
• Normale Größenordnung

Weblinks

Eric W. Weisstein: Mertens Constant. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 132. 
2. ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 300. 
3. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 197.