Dunford-Pettis-Eigenschaft

Die Dunford-Pettis-Eigenschaft (nach N. Dunford und B. J. Pettis) ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen.

Definition

Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:

Ein Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banachraum jeder schwach-kompakte lineare Operator bereits vollstetig ist.

Nach der englischen Bezeichnung „Dunford-Pettis-Property“ verwendet man die Abkürzung DPP und sagt kurz, habe oder sei DPP.

Beispiele

  • Die Folgenräume , und haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume hingegen nicht.
  • Ist ein endlicher Maßraum, so hat L1 die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung.
  • Ist ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banachraum der stetigen Funktionen die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde.
  • Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Eine Charakterisierung

Für einen Banachraum sind folgende Aussagen äquivalent:

  • hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.
  • Ist eine Folge in mit schwachem Grenzwert und eine Folge im Dualraum mit schwachem Grenzwert , so gilt für .
  • Ist eine Folge in mit schwachem Grenzwert und eine Folge im Dualraum mit schwachem Grenzwert , so gilt für .

Eigenschaften

Hat der Dualraum des Banachraums die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch .

Da als kommutative C*-Algebra von der Form ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da und (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch und die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

Gemäß Definition sind alle schwach-kompakten Operatoren auf Räumen mit der Dunford-Pettis-Eigenschaft vollstetig, die Umkehrung muss aber nicht gelten. Beispielsweise hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft und die Identität ist vollstetig, denn wegen der Schur-Eigenschaft sind schwach-kompakte Mengen bereits norm-kompakt. ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die Einheitskugel bereits schwach-kompakt und wäre reflexiv, was aber nicht der Fall ist.

Quellen

  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3.
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1984, ISBN 0-387-90859-5.