Dunford-Pettis-Eigenschaft

Die Dunford-Pettis-Eigenschaft (nach N. Dunford und B. J. Pettis) ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen.

Definition

Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:

Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banachraum ${\displaystyle Y}$ jeder schwach-kompakte lineare Operator ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ bereits vollstetig ist.

Nach der englischen Bezeichnung "Dunford-Pettis-Property" verwendet man die Abkürzung DPP und sagt kurz, ${\displaystyle X}$ habe oder sei DPP.

Beispiele

• Die Folgenräume ${\displaystyle c_{0}}$, ${\displaystyle \ell ^{1}}$ und ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume ${\displaystyle \ell ^{p},1<p<\infty }$ hingegen nicht.
• Ist ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ein endlicher Maßraum, so hat L¹${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung.
• Ist ${\displaystyle K}$ ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banachraum ${\displaystyle C(K)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde.
• Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Eine Charakterisierung

Für einen Banachraum ${\displaystyle X}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle X}$ hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.
• Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ mit schwachem Grenzwert ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ eine Folge im Dualraum ${\displaystyle X'}$ mit schwachem Grenzwert ${\displaystyle f}$, so gilt ${\displaystyle f_{n}(x_{n})\to f(x)}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$.
• Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ mit schwachem Grenzwert ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ eine Folge im Dualraum ${\displaystyle X'}$ mit schwachem Grenzwert ${\displaystyle 0}$, so gilt ${\displaystyle f_{n}(x_{n})\to 0}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$.

Eigenschaften

Hat der Dualraum ${\displaystyle X'}$ des Banachraums ${\displaystyle X}$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch ${\displaystyle X}$.

Da ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ als kommutative C*-Algebra von der Form ${\displaystyle C(K)}$ ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle K}$ (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da ${\displaystyle (c_{0})'\cong \ell ^{1}}$ und ${\displaystyle (\ell ^{1})'\cong \ell ^{\infty }}$ (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch ${\displaystyle c_{0}}$ und ${\displaystyle \ell ^{1}}$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

Gemäß Definition sind alle schwach-kompakten Operatoren auf Räumen mit der Dunford-Pettis-Eigenschaft vollstetig, die Umkehrung muss aber nicht gelten. Beispielsweise hat ${\displaystyle \ell ^{1}}$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft und die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{\ell ^{1}}}$ ist vollstetig, denn wegen der Schur-Eigenschaft sind schwach-kompakte Mengen bereits norm-kompakt. ${\displaystyle \mathrm {id} _{\ell ^{1}}}$ ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die Einheitskugel bereits schwach-kompakt und ${\displaystyle \ell ^{1}}$ wäre reflexiv, was aber nicht der Fall ist.

Quellen

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3. 
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1984, ISBN 0-387-90859-5.