Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung , nach Thomas Simpson ) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung , die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.
Definition Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall [ a , b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
f ( x ) = { 2 ( x − a ) ( b − a ) ( c − a ) , wenn a ≤ x < c 2 b − a , wenn x = c 2 ( b − x ) ( b − a ) ( b − c ) , wenn c < x ≤ b . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {2}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}} Hierbei bestimmen die Parameter a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} a < b {\displaystyle a<b} a ≤ c ≤ b {\displaystyle a\leq c\leq b} Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die y {\displaystyle y} x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in \left[a,b\right]}
Eigenschaften Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion ist
F ( x ) = { ( x − a ) 2 ( b − a ) ( c − a ) , wenn a ≤ x < c c − a b − a , wenn x = c 1 − ( b − x ) 2 ( b − a ) ( b − c ) , wenn c < x ≤ b . {\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {c-a}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}} Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet
F − 1 ( y ) = { a + y ( b − a ) ( c − a ) , wenn 0 ≤ y ≤ ( c − a ) ( b − a ) b − ( b − a ) ( b − c ) ( 1 − y ) , wenn ( c − a ) ( b − a ) ≤ y ≤ 1 {\displaystyle F^{-1}(y)={\begin{cases}a+{\sqrt {y(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}0\leq y\leq {\frac {(c-a)}{(b-a)}}\\b-{\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {(1-y)}},&{\text{wenn }}{\frac {(c-a)}{(b-a)}}\leq y\leq 1\end{cases}}} Erwartungswert und Median Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable X {\displaystyle X}
E ( X ) = a + b + c 3 . {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {a+b+c}{3}}.} Für b − c > c − a {\displaystyle b-c>c-a} Median m {\displaystyle m}
m = b − ( b − a ) ( b − c ) / 2 {\displaystyle m=b-{\sqrt {(b-a)(b-c)/2}}} Pearson .Varianz Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable X {\displaystyle X}
Var ( X ) = a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c 18 = ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( a − c ) 2 36 . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}={\frac {(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}}{36}}.} Beziehung zu anderen Verteilungen Summe gleichverteilter Zufallsgrößen Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit b − c = c − a {\displaystyle b-c=c-a} Standardabweichung 6 ( b − a ) / 12 ≈ 0,204 ( b − a ) {\displaystyle {\sqrt {6}}(b-a)/12\approx 0{,}204(b-a)} mittlerer absoluter Abweichung ( b − a ) / 6 ≈ 0,167 ( b − a ) {\displaystyle (b-a)/6\approx 0{,}167(b-a)} Interquartilsabstand ( 1 − 2 / 2 ) ( b − a ) ≈ 0,293 ( b − a ) {\displaystyle (1-{\sqrt {2}}/2)(b-a)\approx 0{,}293(b-a)}
Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen | X 1 − X 2 | {\displaystyle |X_{1}-X_{2}|} a = c = 0 {\displaystyle a=c=0}
Trapezverteilung Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung .
Diskrete Dreiecksverteilung Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.
Literatur Weblinks Multivariate Verteilungen
Diskrete multivariate Verteilungen: Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch
Kontinuierliche multivariate Verteilungen: Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet
Multivariate Matrixverteilungen: Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart
