Dreiecksfunktion

Dreiecksfunktion

Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\land (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \max(1-|t|,0)\\&={\begin{cases}1-|t|,&|t|<1\\0,&{\mbox{ansonsten}}\end{cases}}\end{aligned}}}$.

Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\quad &{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau \end{aligned}}}$.

Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion

Durch einen Parameter ${\displaystyle a\neq 0}$ kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t/a)&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|\\0,&{\mbox{ansonsten}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&=\mathrm {si} ^{2}(\pi f).\end{aligned}}}$

Allgemeine Form

Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung, sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist ${\displaystyle T}$ die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt ${\displaystyle t_{0}}$. Die Höhe an der Stelle ${\displaystyle t_{0}}$ ist durch

${\displaystyle a\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {t-t_{0}}{T}}\right)}$

gegeben.

Ableitung

Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ dar:

${\displaystyle {\frac {a}{T}}\left(\operatorname {rect} \left({\frac {t-(t_{0}-T/2)}{T}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {t-(t_{0}+T/2)}{T}}\right)\right)}$

welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen ${\displaystyle \epsilon }$ darstellen lassen:

${\displaystyle {\frac {a}{T}}\left(\operatorname {\epsilon } (t-(t_{0}-T))-2\operatorname {\epsilon } (t-t_{0})+\operatorname {\epsilon } (t-(t_{0}+T))\right),}$

wobei ${\displaystyle 2T}$ die Periodendauer, ${\displaystyle t_{0}}$ den Mittelpunkt und ${\displaystyle a}$ die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor ${\displaystyle {\tfrac {a}{T}}}$ tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.

Dreieckschwingung

Eine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine periodische Funktion, die sich durch periodische Fortsetzung des Intervalls ${\displaystyle [-1,1]}$ ergibt, im Allgemeinen ergänzt um einen konstanten Offset. Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthält keinen Gleichanteil, die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich.

Die Funktion

${\displaystyle \Delta (t)=2a\cdot \left|\max(1-((2f\cdot t){\bmod {2}}),-1)\right|-a}$

bzw. die Fourierreihe

${\displaystyle {\frac {8a}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos((2n-1)\cdot \omega \cdot t)}{(2n-1)^{2}}}}$

omega mit ${\displaystyle a}$ für die Amplitude und ${\displaystyle \omega }$ für die Kreisfrequenz erzeugt ein kontinuierliches Dreieckssignal.

Verallgemeinert und mit der Sinusgrundfunktion der Form

${\displaystyle a(t)={\widehat {a}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )}$

in Einklang gebracht folgt:

${\displaystyle \Delta (t)=2a\cdot \left|\max(1-((2f\cdot (t-T{\frac {2\varphi +\pi }{4\pi }}){\bmod {2}})),-1)\right|-a}$.

Quelle

• Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 6. Auflage. Springer Verlag, 1995, ISBN 3-540-54824-6.