Drei-Quadrate-Satz

Der Drei-Quadrate-Satz von Legendre ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie, er lautet:

Eine natürliche Zahl kann genau dann als Summe dreier Quadratzahlen, die auch Null sein dürfen,
geschrieben werden, wenn nicht von der Form
mit natürlichen Zahlen und ist.

Die ersten Zahlen, die nicht als Summe dreier Quadratzahlen geschrieben werden können, sind

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... Folge A004215 in OEIS.

Falls als Quadratzahlen nur natürliche Zahlen ohne die Null zugelassen werden, siehe Folge A051952 in OEIS.

Historische Bemerkungen

Pierre de Fermat fand ein Kriterium, wann eine natürliche Zahl der Form Summe dreier Quadrate ist, das im Wesentlichen zu Legendres Satz äquivalent ist, aber er gab keinen Beweis. Nikolaus von Béguelin bemerkte 1774[1], dass jede positive Zahl, die weder die Form noch die Form hat, Summe dreier Quadrate ist, ebenfalls ohne zufriedenstellenden Beweis.[2] 1796 bewies Carl Friedrich Gauß den sogenannten Heureka-Satz, nach dem jede natürliche Zahl die Summe von drei Dreieckszahlen ist; dies ist äquivalent dazu, dass eine Zahl der Form Summe von drei Quadraten ist. Adrien-Marie Legendre gelang 1797 oder 1798 der erste Beweis des Drei-Quadrate-Satzes.[3] 1813 bemerkte Augustin Louis Cauchy[4], dass Legendres Satz äquivalent zu der in der Einleitung gegebenen Formulierung ist. Zuvor, 1801, hatte Gauß ein allgemeineres Resultat hergeleitet[5], das Legendres Satz als Korollar enthielt. Insbesondere zählte Gauß die Anzahl der möglichen Darstellungen einer Zahl als Summe dreier Quadrate, womit ein weiteres Resultat von Legendre verallgemeinert wurde[6], dessen Beweis unvollständig war. Dieser letztgenannte Umstand scheint die Ursache für spätere falsche Behauptungen zu sein, wonach Legendres Drei-Quadrate-Satz fehlerhaft war und erst durch Gauß vervollständigt worden wäre.[7]

Beweise

Die Beweisrichtung, dass eine Summe von drei Quadraten nicht die Gestalt haben kann, folgt sehr leicht aus der Tatsache, dass eine Quadratzahl modulo 8 kongruent zu 0, 1 oder 4 ist. Für die Umkehrung existieren neben Legendres Beweis einige weitere. Einer geht auf J. P. G. L. Dirichlet aus dem Jahre 1850 zurück, der heute als klassisch gilt.[8] Er verwendet drei wesentliche Ingredienzen:

Beziehung zum Vier-Quadrate-Satz

Der Drei-Quadrate-Satz kann verwendet werden, den Vier-Quadrate-Satz von Lagrange zu beweisen, der aussagt, dass jede natürliche Zahl Summe von vier Quadraten ist. Gauß wies darauf hin[9], dass der Vier-Quadrate-Satz leicht aus der Tatsache folgt, dass jede Zahl, die kongruent zu 1 oder 2 modulo 4 ist, Summe von drei Quadraten ist, denn jede nicht durch 4 teilbare Zahl kann durch Subtraktion von 0 oder 1 auf diese Form gebracht werden. Allerdings ist ein direkter Beweis des Vier-Quadrate-Satzes erheblich einfacher als diesen Umweg über den Drei-Quadrate-Satz zu nehmen. Tatsächlich wurde der Vier-Quadrate-Satz schon früher, nämlich 1770, bewiesen.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, veröffentlicht 1776), Seiten 313–369.
  2. ↑ Leonard Eugene Dickson: History of the theory of numbers, Band II, S. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
  3. ↑ A.-M. Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797–1798), Seite 202 und Seiten 398–399
  4. ↑ A. L. Cauchy: Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813–1815), Seite 177
  5. ↑ C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 291 et 292.
  6. ↑ A.-M. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, Seiten 514–515.
  7. ↑ Siehe zum Beispiel Elena Deza and M. Deza: Figurate numbers. World Scientific 2011, Seite 314 [1]
  8. ↑ Siehe zum Beispiel E. Landau: Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927, Band I, Teile I, II and III
  9. ↑ C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Art. Art 293.