Dopplerverbreiterung

Die Doppler-Verbreiterung ist die durch den Doppler-Effekt verursachte Verbreiterung von Spektrallinien. Sie tritt auf, weil sich die strahlenden Teilchen aufgrund ihrer Wärmebewegung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten relativ zum Beobachter bewegen und daher jedes Teilchen seine Strahlung bei einer leicht verschobenen Frequenz aussendet. Da die Verschiebung mit der Temperatur zunimmt, ist die Doppler-Verbreiterung bei höheren Temperaturen stärker ausgeprägt. Sie erschwert daher die hochauflösende Spektroskopie von Atomen und leichten Molekülen im sichtbaren Spektralbereich sowie von Gammastrahlung bei der Untersuchung von Atomkernen.^[1][2] Bei schwereren Molekülen fällt die Doppler-Verbreiterung geringer aus.

Bei Kernreaktionen tritt eine vergleichbare Doppler-Verbreiterung der Resonanzen auf.^[3]

Befänden sich die Teilchen, die eine Spektrallinie erzeugen, alle in Ruhe, so würde jedes Teilchen Licht exakt bei der gleichen charakteristischen Frequenz aussenden, und die Spektrallinie wäre theoretisch unendlich schmal. In der Praxis besitzen die Teilchen jedoch aufgrund ihrer Wärmebewegung unterschiedliche Geschwindigkeiten und bewegen sich in verschiedene Richtungen. Der Doppler-Effekt bewirkt, dass ein Beobachter von einem sich auf ihn zu bewegenden Teilchen eine etwas höhere Frequenz wahrnimmt, von einem sich entfernenden Teilchen eine etwas niedrigere. Da viele Teilchen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten gleichzeitig strahlen, erscheint die ursprünglich scharfe Spektrallinie zu einem breiten Band verwaschen.

Physikalisch lassen sich die strahlenden Teilchen als Oszillatoren beschreiben, die alle bei einer bestimmten Eigenfrequenz ${\displaystyle f_{0}}$ schwingen. Einen ruhenden Beobachter erreicht diese Frequenz unverfälscht. Bewegt sich ein Teilchen jedoch mit der Geschwindigkeitskomponente ${\displaystyle v}$ in Richtung des Beobachters, so nimmt dieser die nach der Doppler-Formel verschobene Frequenz ${\displaystyle f=f_{0}\,(1+v/c)}$ wahr, wobei ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.

Die Geschwindigkeiten der Teilchen in einem Gas folgen der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Da jede Geschwindigkeit einer bestimmten Frequenzverschiebung entspricht, ergibt sich auch für die beobachteten Frequenzen eine Gaußverteilung. Im Schwerpunktsystem der Teilchen bleibt der Mittelwert der Verteilung unverändert bei ${\displaystyle f_{0}}$. Die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma _{f}}$ der Frequenzverteilung hängt von der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ und der Masse ${\displaystyle m}$ der Teilchen ab:

${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {f_{0}}{c}}{\sqrt {\frac {k_{\mathrm {B} }\,T}{m}}}}$

mit

• der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$
• der Boltzmann-Konstante ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$.

Die Linienverbreiterung wird üblicherweise durch die Halbwertsbreite ${\displaystyle \delta f}$ angegeben, also die Breite der Verteilung auf halber Höhe ihres Maximums. Für eine Gaußverteilung gilt:

${\displaystyle \delta f=2{\sqrt {2\ln {2}}}\cdot \sigma _{f}}$

Daraus folgt für die Doppler-Linienbreite:

${\displaystyle \delta f={\frac {f_{0}}{c}}{\sqrt {\frac {8\,k_{\mathrm {B} }\,T\ln {2}}{m}}}}$

Betrachtet man statt der Frequenzskala die Wellenlängenskala, so gilt entsprechend:

${\displaystyle \delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{c}}{\sqrt {\frac {8\,k_{\mathrm {B} }\,T\ln {2}}{m}}}}$

Das nebenstehende Diagramm zeigt die relative Linienbreite, also das Verhältnis

${\displaystyle {\frac {\sigma _{\lambda }}{\lambda _{0}}}={\frac {1}{c}}{\sqrt {\frac {k_{\mathrm {B} }\,T}{m}}}}$

der Standardabweichung des Doppler-Profils zur zentralen Wellenlänge, in Abhängigkeit von der Temperatur:

• Bei Zimmertemperatur beträgt das Verhältnis nur etwa 10⁻⁶; im sichtbaren Licht entspricht das einer Doppler-Breite von lediglich rund 0,001 nm.
• In den Atmosphären heißer Sterne werden relative Breiten bis etwa 10⁻⁴ erreicht, was im Sichtbaren einer absoluten Linienbreite von etwa 0,1 nm entspricht.

Weil Sauerstoff sechzehnmal so schwer ist wie Wasserstoff, ist seine relative Doppler-Breite bei gleicher Temperatur nur ein Viertel so groß wie die des Wasserstoffs.

Tatsächlich sind Spektrallinien häufig noch deutlich breiter, als die Doppler-Verbreiterung allein erwarten lässt. Der Grund ist die zusätzlich auftretende Druckverbreiterung: Stöße mit anderen Teilchen während eines Absorptions- oder Emissionsvorgangs unterbrechen den Schwingungsvorgang und verbreitern die Linie zusätzlich.

Da die Doppler-Verbreiterung bei atomaren Übergängen meist um mehrere Größenordnungen größer ist als die natürliche Linienbreite, stellt sie das wichtigste Hindernis für die hochauflösende Spektroskopie dar. Sie verhindert beispielsweise das Auflösen der Hyperfeinstruktur, also der sehr feinen Aufspaltung von Spektrallinien durch Wechselwirkungen im Atomkern. Moderne Verfahren wie die dopplerfreie Sättigungsspektroskopie umgehen dieses Problem durch geschickte optische Anordnungen, bei denen sich die Doppler-Beiträge gegenseitig aufheben.

In der Kernphysik und Reaktortechnik bezeichnet der Begriff Doppler-Verbreiterung einen verwandten, aber inhaltlich anderen Effekt. Hier geht es nicht um Spektrallinien des Lichts, sondern um die Verbreiterung von Resonanzen in der Anregungsfunktion, die die Wahrscheinlichkeit einer Kernreaktion in Abhängigkeit von der Stoßenergie beschreibt.

Wenn ein Neutron auf einen Atomkern trifft, hängt die tatsächliche Stoßenergie nicht nur von der Bewegung des Neutrons ab, sondern auch von der Wärmebewegung des Atomkerns selbst. Bei höheren Temperaturen bewegen sich die Kerne des Reaktormaterials schneller und in unterschiedliche Richtungen. Deshalb kann ein Neutron mit einer bestimmten nominellen Energie je nach Relativbewegung zum Kern mit leicht unterschiedlicher Stoßenergie auf diesen treffen. Das Ergebnis ist eine Verschmierung der Resonanzspitzen in der Anregungsfunktion: Die Resonanzen werden breiter und flacher, überdecken aber insgesamt einen größeren Energiebereich. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neutron von einem Compoundkern absorbiert wird, auch wenn seine Energie nicht exakt dem Resonanzmaximum entspricht.

Dieser Effekt spielt in Kernreaktoren eine wichtige sicherheitstechnische Rolle. Mit steigender Reaktortemperatur werden die Resonanzen des Uran-238-Kerns stärker verbreitert. Dadurch erhöht sich die Wahrscheinlichkeit des Neutroneneinfangs durch Uran-238, das heißt, mehr Neutronen werden eingefangen, ohne weitere Spaltreaktionen auszulösen. In der Folge stehen weniger Neutronen für die Kettenreaktion zur Verfügung, was die Reaktorleistung automatisch dämpft.

Dieser Rückkopplungsmechanismus wird durch den Dopplerkoeffizienten der Reaktivität quantifiziert.^[3][4] Er gibt an, um wie viel sich die Reaktivität – ein Maß für die Neigung des Reaktors zur Kettenreaktion – pro Grad Temperaturerhöhung ändert. Der Dopplerkoeffizient ist stets negativ: Steigt die Temperatur, sinkt die Reaktivität. Dieser inhärente Mechanismus wirkt stabilisierend und trägt wesentlich zur Sicherheit von Kernkraftwerken bei, da der Reaktor einer Leistungserhöhung selbsttätig entgegenwirkt, ohne dass ein Eingriff des Betriebspersonals notwendig ist.

• Spektrallinienverbreiterung durch Rotation

1. ↑ G. Lindström, W. Langkau, G. Scobel: Physik kompakt 3. 2. Auflage, Springer 2002, ISBN 978-3-540-43139-8, Seite 76.
2. ↑ B. Welz, M. Sperling: Atomabsorptionsspektroskopie. 4. Auflage, Wiley 1999, ISBN 3-527-28305-6, Seite 1–55, 1–59.
3. ↑ ^{a b} A. Ziegler, H.-J. Allelein (Hrsg.): Reaktortechnik: Physikalisch-technische Grundlagen. 2. Auflage, Springer-Vieweg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-33845-8, Seite 87.
4. ↑ G. Kessler: Sustainable and Safe Nuclear Fission Energy. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-11989-7, Seite 131 ff.