Doppelte Mersenne-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Zahl der Form ${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$, wobei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ eine natürliche Zahl und ${\displaystyle M_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Mersenne-Zahl ist.

Die ersten fünf doppelten Mersenne-Zahlen sind die folgenden (Folge A077585 in OEIS):

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{M_{1}}&=&2^{2^{1}-1}-1&=&2^{1}-1&=&M_{1}&=&1\\M_{M_{2}}&=&2^{2^{2}-1}-1&=&2^{3}-1&=&M_{3}&=&7\\M_{M_{3}}&=&2^{2^{3}-1}-1&=&2^{7}-1&=&M_{7}&=&127\\M_{M_{4}}&=&2^{2^{4}-1}-1&=&2^{15}-1&=&M_{15}&=&32767\\M_{M_{5}}&=&2^{2^{5}-1}-1&=&2^{31}-1&=&M_{31}&=&2147483647\\\end{aligned}}}$

Jede doppelte Mersenne-Zahl ist ${\displaystyle M_{M_{n}}}$ ist definitionsgemäß selbst Mersenne-Zahl, nämlich die ${\displaystyle M_{n}}$-te.

Ist eine doppelte Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ eine Primzahl, nennt man sie doppelte Mersenne-Primzahl.

Die ersten vier doppelten Mersenne-Primzahlen sind die folgenden (Folge A077586 in OEIS):

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{M_{2}}&=&2^{2^{2}-1}-1&=&2^{3}-1&=&M_{3}&=&7\\M_{M_{3}}&=&2^{2^{3}-1}-1&=&2^{7}-1&=&M_{7}&=&127\\M_{M_{5}}&=&2^{2^{5}-1}-1&=&2^{31}-1&=&M_{31}&=&2147483647\\M_{M_{7}}&=&2^{2^{7}-1}-1&=&2^{127}-1&=&M_{127}&=&170141183460469231731687303715884105727\end{aligned}}}$

Mehr als diese vier sind momentan nicht bekannt.

Sei ${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$ mit natürlichem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dann gilt:

${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$ ist nur dann eine Primzahl, wenn auch die Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{n}}$ eine Primzahl ist.

Die Umkehrung gilt nicht: Wenn ${\displaystyle M_{n}}$ eine Primzahl ist, kann ${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$ eine Primzahl sein, muss es aber nicht.

Die folgende Tabelle zeigt an, welche doppelten Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ mit ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ prim sind, welche nicht und von welchen noch nicht einmal bekannt ist, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht. Dabei ist ${\displaystyle Z_{k}}$ eine ${\displaystyle k}$-stellige zusammengesetzte Zahl und ${\displaystyle R_{k}}$ ein ${\displaystyle k}$-stelliger Restfaktor:

Die doppelte Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{M_{61}}}$ ist viel zu groß, als dass man einen bekannten Primzahltest (vor allem den auf Mersenne-Zahlen zugeschnittenen Lucas-Lehmer-Test) auf sie anwenden könnte. Daher weiß man nicht einmal, ob sie zusammengesetzt ist oder nicht. Für alle anderen Primzahlen ${\displaystyle p>61}$ weiß man ebenfalls noch nicht, ob ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ prim ist oder nicht. Es wird allerdings vermutet, dass es keine anderen doppelten Mersenne-Primzahlen gibt mit Ausnahme der ersten vier.^[3][4]

Die folgenden rekursiv definierten Zahlen nennt man Catalan-Mersenne-Zahlen (Folge A007013 in OEIS):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=&2\\C_{1}&=&M(2)&=&M_{2}&=&2^{C_{0}}-1&=&2^{2}-1&=M_{2}=3\\C_{2}&=&M(M(2))&=&M_{M_{2}}&=&2^{C_{1}}-1&=&2^{2^{2}-1}-1&=M_{3}=7\\C_{3}&=&M(M(M(2)))&=&M_{M_{M_{2}}}&=&2^{C_{2}}-1&=&2^{2^{2^{2}-1}-1}-1&=M_{7}=127\\C_{4}&=&M(M(M(M(2))))&=&M_{M_{M_{M_{2}}}}&=&2^{C_{3}}-1&=&2^{2^{2^{2^{2}-1}-1}-1}-1&=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727\\C_{5}&=&M(M(M(M(M(2)))))&=&M_{M_{M_{M_{M_{2}}}}}&=&2^{C_{4}}-1&=&2^{2^{2^{2^{2^{2}-1}-1}-1}-1}-1&=M_{170141183460469231731687303715884105727}=\ldots \\\ldots \\C_{n}&=&\ldots &=&\ldots &=&2^{C_{n-1}}-1\end{aligned}}}$

Schon von ${\displaystyle C_{5}}$ weiß man nicht, ob sie prim ist oder nicht, weil sie viel zu groß ist (viel größer als ${\displaystyle M_{M_{61}}}$, welche für bekannte Primzahltests schon viel zu groß ist; sie hat 51.217.599.719.369.681.875.006.054.625.051.616.350 Stellen). Bekannt ist lediglich, dass sie keinen Primfaktor ${\displaystyle p<5\cdot 10^{51}}$ hat. Allerdings wird vermutet, dass diese Zahl ${\displaystyle C_{5}}$ zusammengesetzt ist. Wenn aber ${\displaystyle C_{5}}$ zusammengesetzt ist, wären alle weiteren ${\displaystyle C_{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 6}$ ebenfalls zusammengesetzt, weil schon weiter oben gezeigt wurde, dass ${\displaystyle M_{C_{n}}}$ (und ${\displaystyle C_{n}}$ ist eine doppelte Mersenne-Zahl) nur dann eine Primzahl ist, wenn auch ${\displaystyle C_{n}}$ eine Primzahl ist.^[5][6]

Der Mathematiker Eugène Charles Catalan hat sich erstmals mit diesen Zahlen beschäftigt, nachdem die Primalität von ${\displaystyle M(M(M(M(2))))=M_{127}}$ von Édouard Lucas im Jahr 1876 bewiesen wurde.^[3][7] Er behauptete als erster, dass diese Zahlen bis zu einem gewissen oberen Limit ${\displaystyle C_{n}}$ allesamt prim sind und danach alle weiteren zusammengesetzt.

Die Menge der Catalan-Mersenne-Zahlen sind eine Teilmenge der Menge der doppelten Mersenne-Zahlen.^[5] Mit anderen Worten: Jede Catalan-Mersenne-Zahl ist auch gleichzeitig eine doppelte Mersenne-Zahl.

In der Serie Futurama kommt die doppelte Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{M_{7}}}$ in der Folge Die Ära des Tentakels (2008) vor. Sie taucht kurz im Hintergrund auf einer Tafel in einem „elementaren Beweis der Goldbachschen Vermutung“ auf (welche in Wirklichkeit noch nicht bewiesen ist). In dieser Episode wird diese Zahl als martian prime bezeichnet.^[5][8]

• Eric W. Weisstein: Double Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Catalan-Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
• Double Mersennes Prime Search

1. ↑ MM₆₁ – A search for a factor of 2^261-1-1
2. ↑ MM₆₁ – A search for a factor of 2^261-1-1 – Listen
3. ↑ ^{a b} Chris K. Caldwell: Mersenne Primes: History, Theorems and Lists – Conjectures and Unsolved Problems. Prime Pages, abgerufen am 25. Dezember 2018. 
4. ↑ I. J. Good: Conjectures concerning the Mersenne numbers. (PDF) In: Mathematics of Computation. 1955, S. 120–121, abgerufen am 25. Dezember 2018 (9). 
5. ↑ ^{a b c} Eric W. Weisstein: Catalan-Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
6. ↑ Landon Curt Noll: Landon Curt Noll’s prime pages. Abgerufen am 26. Dezember 2018. 
7. ↑ Eugène Charles Catalan: Frage 92. In: Nouvelle correspondance mathématique – Questions proposées. Imprimeur de l’academie royale de Belgique, 1878, S. 94–96 (französisch); Textarchiv – Internet Archive.
8. ↑ Les mathématiques de Futurama – Grands théorèmes. Abgerufen am 26. Dezember 2018 (französisch).