Doob-Dynkin-Lemma

Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph L. Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt.

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei Abbildungen ${\displaystyle \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$. In Anwendungen ist ${\displaystyle \Omega }$ in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man ${\displaystyle Y}$ bereits aus ${\displaystyle X}$ berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ gibt, so dass ${\displaystyle Y=h\circ X}$.

Ist nun ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine σ-Algebra auf ${\displaystyle \Omega }$ und ist ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle Y=h\circ X}$, dass auch ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ so klein wie möglich wählt, das heißt wenn

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sigma (X):=\{X^{-1}(B);\,B\subset \mathbb {R} ^{n}\,{\rm {Borelmenge}}\}}$,

die sogenannte von ${\displaystyle X}$ erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das

Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen ${\displaystyle X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Es gibt eine Borel-messbare Funktion ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle Y=h\circ X}$.
2. ${\displaystyle Y}$ ist ${\displaystyle \sigma (X)}$-messbar.

Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist ${\displaystyle Y}$ bezüglich der von ${\displaystyle X}$ erzeugten σ-Algebra messbar, so kann ${\displaystyle Y}$ keine Information enthalten, die nicht bereits in ${\displaystyle X}$ steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

Quellen

• A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
• M. M. Rao, R. J. Swift: Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7