Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition

Für sei ,

dabei sind und die Eisensteinreihen zum Gitter .

Produktentwicklung

Die Diskriminante lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass in keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist .

Transformationsverhalten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d. h. unter den Substitutionen von

gilt:

.

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d. h.

für teilerfremde ,

wie im Jahre 1917 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

.

Für die ersten Werte der tau-Funktion gilt:[1]

.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von Derrick Henry Lehmer aufgestellte Vermutung

für alle richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen gilt:

.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

mit

Literatur

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2
  • Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0

Einzelnachweise

  1. Folge A000594 in OEIS