Diskrete Untergruppe

In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe ${\displaystyle \Gamma }$ heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ liegen keine weiteren Elemente von ${\displaystyle \Gamma }$.

Eine Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to GL(n,\mathbb {C} )}$ einer (abstrakten) Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ heißt diskret, wenn das Bild ${\displaystyle \rho (\Gamma )}$ eine diskrete Untergruppe von ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ist.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {R} }$ ist eine diskrete Untergruppe
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {C} }$ ist eine diskrete Untergruppe
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {C} }$ ist keine diskrete Untergruppe
• ${\displaystyle GL(n,\mathbb {Z} )\subset GL(n,\mathbb {R} )}$ ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter

Sei ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte ${\displaystyle \sigma }$-kompakte topologische Gruppe, ${\displaystyle \pi \colon G\rightarrow \Gamma \backslash G}$ die Projektion und ${\displaystyle \mu }$ das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ erzeugt das Haarmaß ${\displaystyle \mu }$ ein wohldefiniertes Maß ${\displaystyle \mu _{\Gamma }}$ auf ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ wie folgt: für alle Mengen ${\displaystyle A\subset G}$ mit ${\displaystyle A\cap \gamma A=\emptyset \forall \gamma \in \Gamma -\left\{e\right\}}$ definieren wir ${\displaystyle \mu _{\Gamma }(\pi (A))=\mu (A)}$.

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ kompakt ist.

Ein Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ heißt reduzibel, wenn sich ${\displaystyle G}$ als direktes Produkt ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ zerlegen lässt, so dass es Gitter ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ gibt, für die ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}}$ eine Untergruppe von endlichem Index in ${\displaystyle \Gamma }$ ist. Insbesondere ist ${\displaystyle \Gamma }$ dann kein irreduzibles Gitter.

Literatur

• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Springer, New York, Heidelberg 1972. 
• G. A. Margulis: Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer, Berlin, 1991. ISBN 3-540-12179-X

Weblinks

• Venkataramana: Lattices in Lie groups