Dirichletscher Approximationssatz

Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Der Satz lautet: Zu jedem ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ und jedem ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ existieren ein ${\displaystyle q\in \mathbb {N} ,1\leq q\leq N}$ und ein ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$, so dass

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{N+1}}.}$

Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden.

Aus dem Satz folgt nach Division durch ${\displaystyle q}$ und Beachtung von ${\displaystyle q<N+1}$, dass es zu jedem reellen ${\displaystyle \alpha }$ unendlich viele Paare ${\displaystyle (p,q)}$ ganzer Zahlen gibt, die

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

erfüllen. Für rationale Zahlen ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {a}{b}}}$ haben fast alle solche Approximationen die Form ${\displaystyle p=ka,q=kb}$, interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$.

Beispiel: Sei ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle N=10}$. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen ${\displaystyle {\sqrt {2}},2{\sqrt {2}},\dotsc ,10{\sqrt {2}}}$ um höchstens ${\displaystyle 1/11}$ von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

${\displaystyle \left|5{\sqrt {2}}-7\right|=\left|7,07106\dotso -7\right|=0.07106\dotso \leq 0.090909\dotso ={\frac {1}{11}}.}$

Literatur

• Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.