Dirichletsche Betafunktion β(s) Die dirichletsche Betafunktion , geschrieben mit dem griechischen Buchstaben β {\displaystyle \beta } , ist eine spezielle mathematische Funktion , die in der analytischen Zahlentheorie , einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie bildet z. B. die Grundlage für die analytische Theorie der Verteilung der Primzahlen in den arithmetischen Folgen 4 m + 1 {\displaystyle 4m+1} und 4 m + 3 {\displaystyle 4m+3} [1] [2] und ist verwandt mit der riemannschen Zeta-Funktion .
Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859).
Definition Für eine komplexe Zahl s {\displaystyle s} , deren Realteil größer als 0 ist, ist die Beta-Funktion definiert über die Dirichletreihe :
β ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) s = 1 − 1 3 s + 1 5 s − 1 7 s + 1 9 s − + … {\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}=1-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}-+\ldots } Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene H = { s ∈ C | R e s > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} \,s>0\}} konvergiert, stellt er die Basis für alle weiteren Darstellungen der Beta-Funktion dar. Zur Berechnung der Beta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Ebene bedient man sich ihrer analytischen Fortsetzung .
Produktdarstellung Für die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung, die für alle komplexen s {\displaystyle s} , deren Realteil größer als 1 ist, konvergiert.
β ( s ) = ∏ p ≡ 1 m o d 4 1 1 − p − s ∏ p ≡ 3 m o d 4 1 1 + p − s {\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}} Hierbei impliziert p ≡ 1 m o d 4 {\displaystyle p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4} , dass über alle Primzahlen der Form p = 4 m + 1 {\displaystyle p=4m+1} (also p = 5 , 13 , 17 , . . . {\displaystyle p=5,13,17,...} ) multipliziert wird. Analog bedeutet p ≡ 3 m o d 4 {\displaystyle p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4} , dass über alle Primzahlen, welche die Form p = 4 m + 3 {\displaystyle p=4m+3} besitzen (also p = 3 , 7 , 11 , . . . {\displaystyle p=3,7,11,...} ), multipliziert wird.
Funktionalgleichung Für alle z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } gilt die Funktionalgleichung :
β ( 1 − z ) = ( 2 π ) z sin ( 1 2 π z ) Γ ( z ) β ( z ) . {\displaystyle \beta (1-z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{z}\sin \left({\tfrac {1}{2}}\pi z\right)\Gamma (z)\beta (z).} Hierbei ist Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} die Gammafunktion .
Sie dehnt den Definitionsbereich der Beta-Funktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene aus.
Weitere Darstellungen Über die Mellin-Transformation der Funktion f ( x ) = 1 e x + e − x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{e^{x}+e^{-x}}}} erhält man die Integraldarstellung:
β ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x + e − x d x , {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+e^{-x}}}\,\mathrm {d} x,} wobei Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} wieder die Gammafunktion bezeichnet.
Zusammen mit der hurwitzschen Zetafunktion erhält man für alle komplexen s {\displaystyle s} die Relation:
β ( s ) = 4 − s ( ζ ( s , 1 4 ) − ζ ( s , 3 4 ) ) . {\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right).} Eine andere gleichwertige Darstellung für alle komplexen s {\displaystyle s} schließt die transzendente lerchsche Zeta-Funktion Φ {\displaystyle \Phi } ein und lautet:
β ( s ) = 2 − s Φ ( − 1 , s , 1 2 ) . {\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right).} Ebenso kann die Dirichletsche Betafunktion mit Hilfe der Abel-Plana-Formel für alle Komplexen Zahlen s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } beschrieben werden:
β ( s ) = 1 2 + ∫ 0 ∞ sin [ s arctan ( x ) ] 2 ( x 2 + 1 ) s / 2 sinh ( π x / 2 ) d x {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{2(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x} Diese Formel geht aus folgendem Grundmuster hervor:
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n f ( n ) = 1 2 f ( 0 ) + i ∫ 0 ∞ f ( i x / 2 ) − f ( − i x / 2 ) 4 sinh ( π x / 2 ) d x {\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}\,f(0)+i\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ix/2)-f(-ix/2)}{4\,\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x} f ( n ) = 1 ( 2 n + 1 ) s {\displaystyle f(n)={\frac {1}{(2n+1)^{s}}}} Nach der Eulerschen Formel gilt dieser Zusammenhang:
i [ 1 ( i x + 1 ) s − 1 ( − i x + 1 ) s ] = 2 sin [ s arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) s / 2 {\displaystyle i{\biggl [}{\frac {1}{(ix+1)^{s}}}-{\frac {1}{(-ix+1)^{s}}}{\biggr ]}={\frac {2\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}}}} Spezielle Werte Einige spezielle Werte der β {\displaystyle \beta } -Funktion sind
β ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \beta (0)={\tfrac {1}{2}}} β ( 1 ) = arctan 1 = π 4 {\displaystyle \beta (1)=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}} β ( 2 ) = G {\displaystyle \beta (2)=G\ } β ( 3 ) = π 3 32 {\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}} β ( 4 ) = 1 768 ( ψ 3 ( 1 4 ) − 8 π 4 ) {\displaystyle \beta (4)={\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{4}})-8\pi ^{4}\right)} β ( 5 ) = 5 π 5 1536 {\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}} β ( 7 ) = 61 π 7 184320 {\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}} Hierbei bezeichnet G {\displaystyle G} die catalansche Konstante und ψ 3 ( z ) {\displaystyle \psi _{3}(z)} ist die dritte Polygammafunktion .
Allgemein gilt für positive ganze Zahlen k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} die Darstellung:
β ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k E 2 k π 2 k + 1 4 k + 1 ( 2 k ) ! , {\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},} wobei E n {\displaystyle E_{n}} die n {\displaystyle n} -te Euler-Zahl ist. Im Fall k ≤ 0 {\displaystyle k\leq 0} gilt
β ( k ) = E − k 2 . {\displaystyle \beta (k)={{E_{-k}} \over {2}}.} Insbesondere gilt für natürliche k {\displaystyle k} :
β ( − 2 k − 1 ) = 0. {\displaystyle \!\ \beta (-2k-1)=0.} Erzeugungsalgorithmus Zur Ermittlung der Dirichletschen Betafunktionswerte von ungeraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:
β ( 2 n + 1 ) = 1 n ∑ m = 1 n β ( 2 m − 1 ) λ ( 2 n + 2 − 2 m ) {\displaystyle \beta (2n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}\beta (2m-1)\lambda (2n+2-2m)} λ ( v ) = 2 v − 1 2 v ζ ( v ) {\displaystyle \lambda (v)={\frac {2^{v}-1}{2^{v}}}\,\zeta (v)} Die Dirichletsche Lambdafunktion ist das arithmetische Mittel aus Riemannscher Zetafunktion und Dirichletscher Etafunktion.
Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Betafunktionswerte hervorgebracht werden:
β ( 3 ) = β ( 1 ) λ ( 2 ) = π 4 π 2 8 = π 3 32 {\displaystyle \beta (3)=\beta (1)\lambda (2)={\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi ^{3}}{32}}} β ( 5 ) = 1 2 [ β ( 1 ) λ ( 4 ) + β ( 3 ) λ ( 2 ) ] = 1 2 ( π 4 π 4 96 + π 3 32 π 2 8 ) = 5 π 5 1536 {\displaystyle \beta (5)={\frac {1}{2}}{\bigl [}\beta (1)\lambda (4)+\beta (3)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}{\bigr )}={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}} β ( 7 ) = 1 3 [ β ( 1 ) λ ( 6 ) + β ( 3 ) λ ( 4 ) + β ( 5 ) λ ( 2 ) ] = 1 3 ( π 4 π 6 960 + π 3 32 π 4 96 + 5 π 5 1536 π 2 8 ) = 61 π 7 184320 {\displaystyle \beta (7)={\frac {1}{3}}{\bigl [}\beta (1)\lambda (6)+\beta (3)\lambda (4)+\beta (5)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{3}}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}{\bigr )}={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}} Ableitung Ein Ableitungsausdruck für alle R e s > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \,s>0} ist gegeben durch:
β ′ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ln ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) s . {\displaystyle \beta ^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\ln(2n+1)}{(2n+1)^{s}}}.} Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind:
β ′ ( − 1 ) = 2 G π = 0,583 121 … {\displaystyle \beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}=0{,}583121\ldots } β ′ ( 0 ) = ln Γ 2 ( 1 / 4 ) 2 π 2 = 0,391 594 … {\displaystyle \beta ^{\prime }(0)=\ln {\frac {\Gamma ^{2}(1/4)}{2\pi {\sqrt {2}}}}=0{,}391594\ldots } β ′ ( 1 ) = π 4 ( γ + 2 ln 2 + 3 ln π − 4 ln Γ ( 1 4 ) ) = 0,192 901 … {\displaystyle \beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)=0{,}192901\ldots } Mit den gezeigten Werten werden die Resultate der Kummerschen Reihe behandelt.
(vgl. Folge A113847 in OEIS und Folge A078127 in OEIS mit der Euler-Mascheroni-Konstante γ {\displaystyle \gamma } ).
Außerdem gilt für positive ganze Zahlen n {\displaystyle n} :
∑ k = 1 ∞ ln ( 4 k + 1 ) 1 / ( 4 k + 1 ) n ( 4 k − 1 ) 1 / ( 4 k − 1 ) n = − β ′ ( n ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\ln {\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}=-\beta ^{\prime }(n).} Weiteres Rivoal and Zudilin bewiesen 2003[3] , dass mindestens einer der Werte β ( 2 ) {\displaystyle \beta (2)} , β ( 4 ) {\displaystyle \beta (4)} , β ( 6 ) {\displaystyle \beta (6)} , β ( 8 ) {\displaystyle \beta (8)} , β ( 10 ) {\displaystyle \beta (10)} und β ( 12 ) {\displaystyle \beta (12)} irrational ist.
Außerdem bewiesen Guillera und Sondow 2005[4] folgende Formel:
∫ 0 1 ∫ 0 1 [ − ln ( x y ) ] s 1 + x 2 y 2 d x d y = Γ ( s + 2 ) β ( s + 2 ) {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+x^{2}y^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\beta (s+2)} Literatur Niels Henrik Abel : Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies . Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823Olver, Frank W. J.: Asymptotics and special functions . Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0 Weblinks Einzelnachweise ↑ Godfrey Harold Hardy , E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie . R. Oldenbourg, München 1958, S. 292 . ↑ arxiv: Prime Number Races ↑ Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Mathematische Annalen , Bd. 326 (2003), Nummer 4, Seiten 705–721, ISSN 0025-5831 ; vgl. PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln (Memento vom 13. Januar 2011 im Internet Archive ) ↑ Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent . In: Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics , Bd. 16 (2008), Nummer 3, Seiten 247–270, ISSN 1382-4090 ; vgl. in arxiv