Die Dirichletsche η {\displaystyle \eta } komplexen Zahlenebene . In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion , die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der Riemannschen ζ {\displaystyle \zeta } .
Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta (η {\displaystyle \eta } Dedekindsche η-Funktion , eine Modulform , wird ebenfalls so bezeichnet.
Definition Die Dirichletsche η {\displaystyle \eta } komplexen s {\displaystyle s} Realteil größer als 0 definiert über die Dirichletreihe :
η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s = 1 − 1 2 s + 1 3 s − 1 4 s + 1 5 s − + ⋯ . {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-+\cdots .} Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der η {\displaystyle \eta } analytisch fortgesetzt werden, was eine Berechnung der η {\displaystyle \eta } s {\displaystyle s}
Euler-Produkt Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die η {\displaystyle \eta } Primzahlen , die sich für Re s > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} s>1} Euler-Produkt
η ( s ) = ( 1 − 1 2 s − 1 ) ∏ p p r i m 1 1 − 1 p s = ( 1 − 1 2 s − 1 ) ⋅ 1 ( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 5 s ) ⋯ {\displaystyle \eta (s)=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\cdot {\frac {1}{(1-{\frac {1}{2^{s}}})(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{5^{s}}})\cdots }}} ausdrücken lässt.
Funktionalgleichung In ganz C {\displaystyle \mathbb {C} }
η ( 1 − s ) = 2 s − 1 1 − 2 s − 1 π − s cos ( π s 2 ) Γ ( s ) η ( s ) . {\displaystyle \eta (1-s)={\frac {2^{s}-1}{1-2^{s-1}}}\pi ^{-s}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (s)\eta (s).} Verbindung zur Riemannschen ζ-Funktion Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher η {\displaystyle \eta } Riemannscher ζ {\displaystyle \zeta } lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der η {\displaystyle \eta }
η ( s ) + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) s = η ( s ) + 2 2 s ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ζ ( s ) . {\displaystyle \eta (s)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{s}}}=\eta (s)+{\frac {2}{2^{s}}}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).} Daraus folgt der Zusammenhang:
η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ⋅ ζ ( s ) , {\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\cdot \zeta (s),} der in ganz C {\displaystyle \mathbb {C} }
Weitere Darstellungen Integraldarstellung Eine Integraldarstellung für alle Re s > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} s>0} Gammafunktion Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)}
η ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x + 1 d x {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{\mathrm {d} x}} Dies kann als Mellin-Transformation [1] 1 e x + 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{e^{x}+1}}} s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} }
η ( s ) = ( 1 2 − 2 − s ) { s + 1 s − 1 + ∫ 0 ∞ 4 sin [ s arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) s / 2 ( e 2 π x − 1 ) d x } {\displaystyle \eta (s)=\left({\dfrac {1}{2}}-2^{-s}\right){\biggl \{}{\frac {s+1}{s-1}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}(e^{2\pi x}-1)}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}} η ( s ) = 1 2 + ∫ 0 ∞ sin [ s arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) s / 2 sinh ( π x ) d x {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x} Beide Formeln wurden durch den Mathematiker Niels Henrik Abel entdeckt und in seinem Werk Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies ausführlich behandelt. Diese beiden Formeln stellen zwei Spezialfälle der generellen Abel-Plana-Summenformel dar. Die erste Formel resultiert direkt aus der von den Mathematikern Borwein, Bradley und Crandall behandelten Formel für die Riemannsche Zetafunktion, welche sie in ihrem Werk Computational strategies for the Riemann zeta function untersuchten. Die zweite Formel entsteht durch Mellin-Transformation der alternierenden Differenzdarstellung für die Dirichletsche Etafunktion nach dem Muster der Abel-Plana-Formel. Mit dem Sekans Hyperbolicus kann diese Darstellung hervorgerufen werden:
η ( s ) = 2 s − 1 Γ ( s + 1 ) ∫ 0 ∞ x s sech ( x ) 2 d x {\displaystyle \eta (s)={\frac {2^{s-1}}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s}\operatorname {sech} (x)^{2}\,\mathrm {d} x} Außerdem gilt dieses Doppelintegral über die Potenzen des natürlichen Logarithmus:
η ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 + x y ln ( 1 x y ) s − 2 d x d y {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+xy}}\ln \left({\frac {1}{xy}}\right)^{s-2}\;\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y} Reihendarstellung Eine in ganz C {\displaystyle \mathbb {C} } eulerschen Reihentransformation :
η ( s ) = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) 1 ( k + 1 ) s . {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.} Produktdarstellung Für alle s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } [2] Jacques Hadamard :
η ( s ) = 1 − 2 1 − s 2 ( s − 1 ) Γ ( 1 + s / 2 ) e ( ln ( 2 π ) − 1 − γ / 2 ) s ∏ ρ ( 1 − s ρ ) e s / ρ . {\displaystyle \eta (s)={\frac {1-2^{1-s}}{2(s-1)\,\Gamma (1+s/2)}}e^{(\ln(2\pi )-1-\gamma /2)s}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{s/\rho }.} Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen ρ {\displaystyle \rho } η {\displaystyle \eta } Zeta-Funktion ab.
Werte Etafunktionswerte von negativen ganzen Zahlen Es gilt:
η ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \eta (0)={\tfrac {1}{2}}} η ( − 1 ) = 1 4 {\displaystyle \eta (-1)={\tfrac {1}{4}}} Für natürliche k {\displaystyle k} Bernoulli-Zahlen B k {\displaystyle B_{k}}
η ( 1 − k ) = 2 k − 1 k B k {\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}} Basler Problem Der Wert η(2) ergibt π²/12 und steht mit dem Basler Problem im Zusammenhang.
Mit dem Satz von Fubini kann dieser Wert bewiesen werden:
η ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n 2 = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 ( − 1 ) n − 1 1 n x n − 1 d x = ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n x n − 1 d x = {\displaystyle \eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=} = ∫ 0 1 1 x ln ( x + 1 ) d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 3 ( x 2 + 2 x y + 1 ) + 2 x 3 ( x 2 y + 1 ) − 1 3 ( x y + 1 ) d y d x = {\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=} = ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 3 ( x 2 + 2 x y + 1 ) + 2 x 3 ( x 2 y + 1 ) − 1 3 ( x y + 1 ) d x d y = ∫ 0 1 π − 2 arcsin ( y ) 3 1 − y 2 d y = π 2 12 {\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi -2\arcsin(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{12}}} Etafunktion und Bernoulli-Zahlen Für gerade Argumente 2 n = 2 , 4 , 6 , 8 , … {\displaystyle 2n=2,4,6,8,\dots }
η ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 2 2 n − 1 − 1 ( 2 n ) ! B 2 n π 2 n {\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {2^{2n-1}-1}{(2n)!}}B_{2n}\pi ^{2n}} Somit lässt sich der Zahlenwert von η ( 2 n ) {\displaystyle \eta (2n)}
η ( 2 n ) = p n q n π 2 n {\displaystyle \eta (2n)={\frac {p_{n}}{q_{n}}}\pi ^{2n}} schreiben, wobei p n {\displaystyle p_{n}} q n {\displaystyle q_{n}}
2n pn qn η ( 2 n ) {\displaystyle \eta (2n)} 2 1 12 0,82246703342411321823… 4 7 720 0,94703282949724591757… 6 31 30240 0,98555109129743510409… 8 127 1209600 0,99623300185264789922… 10 73 6842880 0,99903950759827156563… 12 1414477 1307674368000 0,99975768514385819085… 14 8191 74724249600 0,99993917034597971817… 16 16931177 1524374691840000 0,99998476421490610644… 18 5749691557 5109094217170944000 0,99999618786961011347… 20 91546277357 802857662698291200000 0,99999904661158152211…
Die ersten Werte für ungerade Argumente sind
η ( 1 ) = ln 2 {\displaystyle \eta (1)=\ln 2} harmonische Reihe )η ( 3 ) = 3 4 ζ ( 3 ) {\displaystyle \eta (3)={\frac {3}{4}}\zeta (3)} η ( 5 ) = 15 16 ζ ( 5 ) . {\displaystyle \eta (5)={\frac {15}{16}}\zeta (5).} Nullstellen Aus der Relation
η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ⋅ ζ ( s ) {\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\cdot \zeta (s)} ist leicht zu folgern, dass η ( s ) {\displaystyle \eta (s)} m ∈ Z ∖ { 0 } {\displaystyle m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}} s m = 1 + 2 π m i ln 2 {\displaystyle s_{m}=1+{\tfrac {2\pi mi}{\ln 2}}} ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} verschwindet . Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei s = − 2 , − 4 , − 6 , − 8 , … {\displaystyle s=-2,-4,-6,-8,\dots }
η ( − 2 ) = η ( − 4 ) = η ( − 6 ) = η ( − 8 ) = ⋯ = 0 , {\displaystyle \eta (-2)=\eta (-4)=\eta (-6)=\eta (-8)=\cdots =0,} als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen { s ∈ C | 0 < Re s < 1 } {\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |0<\operatorname {Re} s<1\}}
Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.
Ableitung Ableitungsidentität mit der Zeta-Ableitung Die Ableitung der η {\displaystyle \eta } Re s > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} s>0}
η ′ ( s ) = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ln n n s . {\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln n}{n^{s}}}.} Ein geschlossener Ausdruck für alle komplexen Zahlen s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} }
η ′ ( s ) = d d s ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) = 2 1 − s ( ln 2 ) ζ ( s ) + ( 1 − 2 1 − s ) ζ ′ ( s ) , {\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}(1-2^{1-s})\zeta (s)={\frac {}{}}2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)+(1-2^{1-s})\zeta ^{\prime }(s),} Diese Formel kann unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.
Ableitungsidentitäten mit der Abel-Plana-Formel Eine zu dieser Formel äquivalente und somit ebenso geschlossen für alle komplexen Zahlen s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } Mellin-Transformation beziehungsweise als Derivat der Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:
η ′ ( s ) = d d s { 1 2 + ∫ 0 ∞ sin [ s arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) s / 2 sinh ( π x ) d x } {\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}} η ′ ( s ) = ∫ 0 ∞ 2 arctan ( x ) cos [ s arctan ( x ) ] − ln ( x 2 + 1 ) sin [ s arctan ( x ) ] 2 ( x 2 + 1 ) s / 2 sinh ( π x ) d x {\displaystyle \eta '(s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)\cos[s\arctan(x)]-\ln(x^{2}+1)\sin[s\arctan(x)]}{2(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x} Diese Formeln entstehen nach dem Muster, welches von Niels Henrik Abel in seinem genannten Werk beschrieben wurde. Analog hierzu kann auch mit der Abel-Plana-Formel aus dem Werk von Borwein, Bradley und Crandall dieses Verfahren durchgeführt werden, welche die Dirichletsche Etafunktion als das Produkt der Riemannschen Zetafunktion mit einer Potenzfunktion zur Basis Zwei darstellt. Bei dieser Ableitung werden somit Zweierpotenzfunktionen abgeleitet und somit wird der Natürliche Logarithmus von Zwei als Vorfaktor bei den Summanden hervorgebracht:
η ′ ( s ) = d d s ⟨ ( 1 2 − 2 − s ) { s + 1 s − 1 + ∫ 0 ∞ 4 sin [ s arctan ( x ) ] ( 1 + x 2 ) s / 2 [ exp ( 2 π x ) − 1 ] d x } ⟩ {\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl \langle }{\biggl (}{\dfrac {1}{2}}-2^{-s}{\biggr )}{\biggl \{}{\frac {s+1}{s-1}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4\sin[s\arctan(x)]}{(1+x^{2})^{s/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}{\biggr \rangle }} η ′ ( s ) = 2 − s ( s 2 − 1 ) ln ( 2 ) + 2 1 − s − 1 ( s − 1 ) 2 + {\displaystyle \eta '(s)={\frac {2^{-s}(s^{2}-1)\ln(2)+2^{1-s}-1}{(s-1)^{2}}}\,+} + ∫ 0 ∞ ( 2 − 2 2 − s ) arctan ( x ) cos [ s arctan ( x ) ] + [ 2 2 − s ln ( 2 ) − ( 1 − 2 1 − s ) ln ( x 2 + 1 ) ] sin [ s arctan ( x ) ] ( 1 + x 2 ) s / 2 [ exp ( 2 π x ) − 1 ] d x {\displaystyle +\int _{0}^{\infty }{\frac {(2-2^{2-s})\arctan(x)\cos[s\arctan(x)]+[2^{2-s}\ln(2)-(1-2^{1-s})\ln(x^{2}+1)]\sin[s\arctan(x)]}{(1+x^{2})^{s/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x} Rechenbeispiele für die Ableitung Rechenbeispiel[3]
η ′ ( 0 ) = ∫ 0 ∞ arctan ( x ) sinh ( π x ) d x = 1 2 ln ( π 2 ) ≈ 0,225 7913526447274323630976 {\displaystyle \eta '(0)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(x)}{\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\pi }{2}}\right)\approx 0{,}2257913526447274323630976} Alternativ hierzu kann dieses Verfahren mit der Formel nach Borwein, Bradley und Crandall angewendet werden:
η ′ ( 0 ) = 1 − ln ( 2 ) + ∫ 0 ∞ − 2 arctan ( x ) exp ( 2 π x ) − 1 d x = 1 2 ln ( π 2 ) {\displaystyle \eta '(0)=1-\ln(2)+\int _{0}^{\infty }{\frac {-2\arctan(x)}{\exp(2\pi x)-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\pi }{2}}\right)} Rechenbeispiel für s = 1 {\displaystyle s=1}
η ′ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ 2 arctan ( x ) − x ln ( x 2 + 1 ) 2 ( x 2 + 1 ) sinh ( π x ) d x = γ ln ( 2 ) − 1 2 ln ( 2 ) 2 ≈ 0,159 86890374243097175694787 {\displaystyle \eta '(1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)-x\ln(x^{2}+1)}{2(x^{2}+1)\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x=\gamma \ln(2)-{\frac {1}{2}}\ln(2)^{2}\approx 0{,}15986890374243097175694787} Alternativ hierzu kann dieses Verfahren angewendet werden:
η ′ ( 1 ) = [ lim s → 1 2 − s ( s 2 − 1 ) ln ( 2 ) + 2 1 − s − 1 ( s − 1 ) 2 ] + ∫ 0 ∞ 2 ln ( 2 ) sin [ arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) 1 / 2 [ exp ( 2 π x ) − 1 ] d x = {\displaystyle \eta '(1)={\biggl [}\lim _{s\rightarrow 1}{\frac {2^{-s}(s^{2}-1)\ln(2)+2^{1-s}-1}{(s-1)^{2}}}{\biggr ]}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\ln(2)\sin[\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{1/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=} = 1 2 [ ln ( 2 ) − ln ( 2 ) 2 ] + ∫ 0 ∞ 2 ln ( 2 ) sin [ arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) 1 / 2 [ exp ( 2 π x ) − 1 ] d x = {\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\bigl [}\ln(2)-\ln(2)^{2}{\bigr ]}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\ln(2)\sin[\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{1/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=} = 1 2 [ ln ( 2 ) − ln ( 2 ) 2 ] + ln ( 2 ) ∫ 0 ∞ 2 x ( x 2 + 1 ) [ exp ( 2 π x ) − 1 ] d x = {\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\bigl [}\ln(2)-\ln(2)^{2}{\bigr ]}+\ln(2)\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=} = γ ln ( 2 ) − 1 2 ln ( 2 ) 2 {\displaystyle =\gamma \ln(2)-{\frac {1}{2}}\ln(2)^{2}} Denn in Bezug auf die Euler-Mascheroni-Konstante gilt diese Identität:
∫ 0 ∞ 2 x ( x 2 + 1 ) [ exp ( 2 π x ) − 1 ] d x = γ − 1 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\,x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=\gamma -{\frac {1}{2}}} Die Integralformel bei dem Ausdruck für η ′ ( 0 ) {\displaystyle \eta '(0)} Gammafunktion nach den britischen Mathematikern Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson hergeleitet werden:
ln [ Γ ( x ) ] = ( x − 1 2 ) ln ( x ) − x + 1 2 ln ( 2 π ) + 2 x ∫ 0 ∞ arctan ( y ) exp ( 2 π x y ) − 1 d y {\displaystyle \ln {\bigl [}\Gamma (x){\bigr ]}={\bigl (}x-{\frac {1}{2}}{\bigr )}\ln(x)-x+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+2x\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(y)}{\exp(2\pi xy)-1}}\,\mathrm {d} y} Ableitungsidentität mit der Digammafunktion Eine weitere Formel für s > − 1 {\displaystyle s>-1} Digammafunktion hergeleitet werden.
Es gilt folgende Ableitung für die Gammafunktion:
d d s Γ ( s + 1 ) = Γ ( s + 1 ) ψ ( s + 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\Gamma (s+1)=\Gamma (s+1)\,\psi (s+1)} Und es gilt dann:
η ′ ( s ) = d d s [ 2 s − 1 Γ ( s + 1 ) ∫ 0 ∞ x s sech ( x ) 2 d x ] {\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl [}{\frac {2^{s-1}}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s}\operatorname {sech} (x)^{2}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}} η ′ ( s ) = 2 s − 1 Γ ( s + 1 ) ∫ 0 ∞ x s sech ( x ) 2 [ ln ( 2 x ) − ψ ( s + 1 ) ] d x {\displaystyle \eta '(s)={\frac {2^{s-1}}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s}\operatorname {sech} (x)^{2}[\ln(2x)-\psi (s+1)]\,\mathrm {d} x} Stammfunktion Die Ursprungsstammfunktion der Dirichletschen Etafunktion hat diese Identität:
η ( s ) = 1 2 + ∫ 0 ∞ sin [ s arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) s / 2 sinh ( π x ) d x {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x} ∫ 0 s η ( t ) d t = s 2 + ∫ 0 ∞ 4 ( x 2 + 1 ) s / 2 arctan ( x ) − 4 arctan ( x ) cos [ s arctan ( x ) ] − 2 ln ( x 2 + 1 ) sin [ s arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) s / 2 [ ln ( x 2 + 1 ) 2 + 4 arctan ( x ) 2 ] sinh ( π x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{s}\eta (t)\,\mathrm {d} t={\frac {s}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4(x^{2}+1)^{s/2}\arctan(x)-4\arctan(x)\cos[s\arctan(x)]-2\ln(x^{2}+1)\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}[\ln(x^{2}+1)^{2}+4\arctan(x)^{2}]\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x} Durch Integration der genannten Abel-Plana-Formel kann dieser Ausdruck hervorgebracht werden. Denn folgende Integralformel ist grundsätzlich gültig:
∫ 0 s sin ( a t ) exp ( b t ) d t = a exp ( b s ) − a cos ( a s ) − b sin ( a s ) ( a 2 + b 2 ) exp ( b s ) {\displaystyle \int _{0}^{s}{\frac {\sin(at)}{\exp(bt)}}\,\mathrm {d} t={\frac {a\exp(bs)-a\cos(as)-b\sin(as)}{(a^{2}+b^{2})\exp(bs)}}} Durch Einsatz von a = arctan ( x ) {\displaystyle a=\arctan(x)} b = ln ( x 2 + 1 ) / 2 {\displaystyle b=\ln(x^{2}+1)/2}
Mit der genannten Stammfunktionsformel für die Dirichletsche Etafunktion gilt zum Beispiel:
∫ 0 1 η ( t ) d t = 1 2 + ∫ 0 ∞ 4 ( x 2 + 1 ) 1 / 2 arctan ( x ) − 4 arctan ( x ) cos [ arctan ( x ) ] − 2 ln ( x 2 + 1 ) sin [ arctan ( x ) ] ( x 2 + 1 ) 1 / 2 [ ln ( x 2 + 1 ) 2 + 4 arctan ( x ) 2 ] sinh ( π x ) d x = {\displaystyle \int _{0}^{1}\eta (t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4(x^{2}+1)^{1/2}\arctan(x)-4\arctan(x)\cos[\arctan(x)]-2\ln(x^{2}+1)\sin[\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{1/2}[\ln(x^{2}+1)^{2}+4\arctan(x)^{2}]\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x=} = 1 2 + ∫ 0 ∞ 4 ( x 2 + 1 ) arctan ( x ) − 4 arctan ( x ) − 2 x ln ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 1 ) [ ln ( x 2 + 1 ) 2 + 4 arctan ( x ) 2 ] sinh ( π x ) d x ≈ 0,602 11234931037155497112632 {\displaystyle ={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4(x^{2}+1)\arctan(x)-4\arctan(x)-2\,x\ln(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)[\ln(x^{2}+1)^{2}+4\arctan(x)^{2}]\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x\approx 0{,}60211234931037155497112632} Dirichletsche und Riemannsche Funktionen Verwandtschaften der Funktionen Die Verwandtschaften von η {\displaystyle \eta } Dirichletschen λ {\displaystyle \lambda } [4] Riemannschen ζ {\displaystyle \zeta } werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:[5]
ζ ( v ) 2 v = λ ( v ) 2 v − 1 = η ( v ) 2 v − 2 {\displaystyle {\frac {\zeta (v)}{2^{v}}}={\frac {\lambda (v)}{2^{v}-1}}={\frac {\eta (v)}{2^{v}-2}}} Deswegen gilt auch:
ζ ( v ) + η ( v ) = 2 λ ( v ) . {\displaystyle \zeta (v)+\eta (v)=2\lambda (v).} Die Dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus , denn es gilt:
η ( x ) = − L i x ( − 1 ) . {\displaystyle \eta (x)=-\mathrm {Li} _{x}(-1).} Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta-Funktion :
η ( s ) = Φ ( − 1 , s , 1 ) . {\displaystyle \eta (s)=\Phi (-1,s,1).} Erzeugungsalgorithmus Zur Ermittlung der Dirichletschen Etafunktionswerte und Lambdafunktionswerte von geraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:
λ ( 2 n + 2 ) = 1 n ∑ m = 1 n η ( 2 m ) λ ( 2 n + 2 − 2 m ) {\displaystyle \lambda (2n+2)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}\eta (2m)\lambda (2n+2-2m)} η ( v ) = 2 v − 2 2 v − 1 λ ( v ) {\displaystyle \eta (v)={\frac {2^{v}-2}{2^{v}-1}}\,\lambda (v)} Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Etafunktionswerte hervorgebracht werden:
Tabelle über den Verlauf der Erzeugung Summe für die Ermittlung des Lambda-Wertes Formel für den Eta-Wert λ ( 4 ) = η ( 2 ) λ ( 2 ) = π 2 12 π 2 8 = π 4 96 {\displaystyle \lambda (4)=\eta (2)\lambda (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}} η ( 4 ) = 14 15 λ ( 4 ) = 7 π 4 720 {\displaystyle \eta (4)={\frac {14}{15}}\,\lambda (4)={\frac {7\pi ^{4}}{720}}} λ ( 6 ) = 1 2 [ η ( 2 ) λ ( 4 ) + η ( 4 ) λ ( 2 ) ] = 1 2 ( π 2 12 π 4 96 + 7 π 4 720 π 2 8 ) = π 6 960 {\displaystyle \lambda (6)={\frac {1}{2}}{\bigl [}\eta (2)\lambda (4)+\eta (4)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {\pi ^{6}}{960}}} η ( 6 ) = 62 63 λ ( 6 ) = 31 π 6 30240 {\displaystyle \eta (6)={\frac {62}{63}}\,\lambda (6)={\frac {31\pi ^{6}}{30240}}} λ ( 8 ) = 1 3 [ η ( 2 ) λ ( 6 ) + η ( 4 ) λ ( 4 ) + η ( 6 ) λ ( 2 ) ] = 1 3 ( π 2 12 π 6 960 + 7 π 4 720 π 4 96 + 31 π 6 30240 π 2 8 ) = 17 π 8 161280 {\displaystyle \lambda (8)={\frac {1}{3}}{\bigl [}\eta (2)\lambda (6)+\eta (4)\lambda (4)+\eta (6)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {31\pi ^{6}}{30240}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {17\pi ^{8}}{161280}}} η ( 8 ) = 254 255 λ ( 8 ) = 127 π 8 1209600 {\displaystyle \eta (8)={\frac {254}{255}}\,\lambda (8)={\frac {127\pi ^{8}}{1209600}}}
Nach dem gezeigten Zick-Zack-Muster werden die Werte von Dirichletscher Etafunktion und Dirichletscher Lambdafunktion bei geraden Zahlen effizient erzeugt.
Reihen mit den Dirichletschen Funktionen Folgende Summe mit der Dirichletschen Etafunktion ergibt folgenden Wert:
∑ n = 1 ∞ [ η ( 2 n ) 2 n − η ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 ] = ln ( 4 π ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\eta (2n)}{2n}}-{\frac {\eta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)} Die analoge Formel mit der Riemannschen Zetafunktion bringt die Euler-Mascheroni-Konstante hervor:
∑ n = 1 ∞ [ ζ ( 2 n ) 2 n − ζ ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 ] = γ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\gamma } Und mit der Dirichletschen Lambdafunktion entsteht folglich dieser Wert:
∑ n = 1 ∞ [ λ ( 2 n ) 2 n − λ ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 ] = 1 2 γ + 1 2 ln ( 4 π ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\lambda (2n)}{2n}}-{\frac {\lambda (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}={\frac {1}{2}}\,\gamma +{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)} Dieses Resultat geht direkt durch arithmetische Mittelung hervor.
Literatur Eric W. Weisstein : Dirichlet Eta Function .MathWorld Niels Henrik Abel : Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies . Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function . Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF), S. 253. Konrad Knopp : Theory and Application of Infinite Series . Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2 ( [1922]). Einzelnachweise ↑ Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function. Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF) , S. 253. ↑ André Voros: More Zeta Functions for the Riemann Zeros (PDF; 182 kB), CEA, Service de Physique Théorique de Saclay (CNRS URA 2306), Seite 6. ↑ Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. Abgerufen am 6. Dezember 2022 (englisch). ↑ Eric W. Weisstein : Dirichlet Lambda Function .MathWorld ↑ J. Spanier, K. B. Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions . Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987. 