Differentialcharakter

Differentialcharaktere sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie, der die Kohomologiegruppen verallgemeinert.

Sekundäre charakteristische Klassen, zum Beispiel die Cheeger-Chern-Simons-Klassen von Vektorbündeln, sind Differentialcharaktere. Im Fall flacher Bündel sind diese dann sogar Kohomologieklassen.

ℤ-wertige Differentialcharaktere

Sei ${\displaystyle X}$ eine glatte Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle k\geq 1}$ eine ganze Zahl. Die Gruppe der ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-wertigen Differentialcharaktere vom Grad ${\displaystyle k}$ ist

${\displaystyle {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {Z} ):=\left\{h\in \mathrm {Hom} (Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\mid h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)\right\}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} )}$ die Gruppe der ${\displaystyle (k-1)}$-Zykel und die Notation ${\displaystyle h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)}$ meint, dass es eine Differentialform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ gibt, so dass

${\displaystyle h(\partial c)=\exp(2\pi i\int _{c}\omega )}$

für jede glatte Kette ${\displaystyle c\in C_{k}(X;\mathbb {Z} )}$ gilt.

ℝ/ℤ-wertige Differentialcharaktere

Sei ${\displaystyle X}$ eine glatte Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle k\geq 1}$ eine ganze Zahl. Die Gruppe der ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$-wertigen Differentialcharaktere vom Grad ${\displaystyle k}$ ist

${\displaystyle {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} ):=\left\{h\in \mathrm {Hom} (Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} ),\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\mid h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)\right\}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} )}$ die Gruppe der ${\displaystyle (k-1)}$-Zykel und die Notation ${\displaystyle h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)}$ meint, dass es eine Differentialform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ gibt, so dass

${\displaystyle h(\partial c)=\int _{c}\omega \ \mathrm {mod} \ \mathbb {Z} }$

für jede glatte Kette ${\displaystyle c\in C_{k}(X;\mathbb {Z} )}$ gilt.

Kurze exakte Sequenzen

Korand-Abbildung

Man hat eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to A_{0}^{k+1}(X)\to 0}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle A_{0}^{k+1}(X)}$ die Gruppe der geschlossenen Differentialformen mit ganzzahligen Perioden und die Abbildung

${\displaystyle \delta \colon {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to A_{0}^{k+1}(X)}$

ordnet jedem ${\displaystyle h\in {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ die eindeutige Differentialform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ mit ${\displaystyle h(\partial c)=\int _{c}\omega \ \mathrm {mod} \ \mathbb {Z} \ \quad \forall c\in C_{k}^{smooth}(X;\mathbb {Z} )}$ zu.

Insbesondere kann man ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ als Untergruppe von ${\displaystyle {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ auffassen.

Sekundäre charakteristische Klassen von Vektorbündeln geben Invarianten in ${\displaystyle {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$, die im Fall verschwindender Krümmung sogar in ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ liegen.

Bockstein-Homomorphismus

Es gibt einen Homomorphismus

${\displaystyle b\colon {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{k+1}(X;\mathbb {Z} )}$,

dessen Einschränkung auf ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ gerade der Bockstein-Homomorphismus ist. Er passt in eine exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to A^{k}(X)/A_{0}^{k}(X)\to {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{k+1}(X;\mathbb {Z} )\to 0}$.

Literatur

• Jeff Cheeger, James Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology. In: Lecture Notes in Math. 1167, Springer, Berlin 1985, S. 50–80.
• Christian Bär, Christian Becker: Differential characters. In: Lecture Notes in Mathematics. 2112. Springer, Cham 2014, ISBN 978-3-319-07033-9.