Derivierte Kategorie

Die derivierte Kategorie ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ einer abelschen Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist ein wichtiges Objekt in der modernen homologischen Algebra. Sie wurde durch Grothendiecks Student Verdier eingeführt.^[1]

Quasiisomorphismus

Zuerst bildet man die abelsche Kategorie ${\displaystyle \mathop {Ch} ({\mathcal {A}})}$ aller Kettenkomplexe in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Ein Kettenhomomorphismus ${\displaystyle f_{*}\colon C_{*}\rightarrow D_{*}}$ in ${\displaystyle \mathop {Ch} ({\mathcal {A}})}$ heißt ein Quasiisomorphismus, falls er unter Homologie zu einem Isomorphismus wird, das heißt falls ${\displaystyle H_{n}(f)\colon H_{n}(C)\rightarrow H_{n}(D)}$ ein Isomorphismus ist für jede ganze Zahl ${\displaystyle n}$.

Homotopie-Kategorie

Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$, indem man kettenhomotope Morphismen in ${\displaystyle \mathop {Ch} ({\mathcal {A}})}$ miteinander identifiziert. ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ist eine triangulierte Kategorie.

Derivierte Kategorie

Analog zur Lokalisierung bildet man die derivierte Kategorie ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ aus ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$, indem man sämtliche Quasiisomorphismen für invertierbar erklärt.

Mengentheoretisches Problem

Seien ${\displaystyle A,B}$ zwei Objekte aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. In ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ist die Gesamtheit aller Morphismen von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ nicht immer eine Menge.^[2] Die wichtigsten Arbeiten halten dieses Problem für unwesentlich.^[3]

Literatur

• Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin: Methods of Homological Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-642-07813-3. 
• Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Kapitel 10. 
• Wolfgang Soergel: Derivierte Kategorien und Funktoren. (PDF) Mathematisches Institut, Universität Freiburg, 7. April 2017, abgerufen am 8. April 2017 (Vorlesungsskript). 

Einzelnachweise

1. ↑ R. P. Thomas: Derived Categories for the Working Mathematician. In: Cumrun Vafa, S.-T. Yau (Hrsg.): Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles and Lagrangian Submanifolds (Cambridge, MA, 1999) (= AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Nr. 23). American Mathematical Society, Providence (Rhode Island) 2001, ISBN 0-8218-2159-8, S. 349–361, arxiv:math/0001045: „… the creators of derived categories (principally Verdier, or as he is traditionally known in this context, Grothendieck’s student Verdier)“ 
2. ↑ Für ein Beispiel von Freyd, siehe Carles Casacuberta, Amnon Neeman: Brown representability does not come for free. In: Mathematical Research Letters. Band 16, Nr. 1. International Press, 2009, ISSN 1073-2780, S. 1–5, arxiv:0807.1872. 
3. ↑ Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Set-Theoretic Remark 10.3.3: „The standard references […] all ignore these set-theoretic problems.“