Deming-Regression

In der Statistik wird mit der Deming-Regression eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare (${\displaystyle x_{i},y_{i}}$) nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der linearen Regression. Bei der Deming-Regression werden die Residuen (Messfehler) sowohl für die ${\displaystyle x}$- als auch für die ${\displaystyle y}$-Werte in das Modell einbezogen.

Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der Regressionsanalyse; sie beruht auf einer Maximum-Likelihood-Schätzung der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient ${\displaystyle \delta }$ ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von C.H. Kummell (1879) zurück;^[1] 1937 wurde die Methode von T.C. Koopmans wieder aufgegriffen^[2] und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W. E. Deming für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.^[3]

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall ${\displaystyle \delta =1}$. Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der York-Regression.

Die gemessenen Werte ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle y_{i}}$ werden als Summen der „wahren Werte“ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ bzw. ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ und der „Fehler“ ${\displaystyle \eta _{i}}$ bzw. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ aufgefasst, d. h. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})=(x_{i}^{*}+\eta _{i},y_{i}^{*}+\varepsilon _{i})}$ Die Datenpaare (${\displaystyle x_{i}^{*},y_{i}^{*}}$) liegen auf der zu berechnenden Geraden. ${\displaystyle \eta _{i}}$ und ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ seien unabhängig mit ${\displaystyle \sigma _{\eta }^{2}:=Var(\eta )}$ und ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}:=Var(\varepsilon )}$. Bekannt sei zumindest der Quotient der Fehlervarianzen ${\displaystyle \delta ={\frac {\sigma _{\eta }^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}}$.

Es wird eine Gerade

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x}$

gesucht, die die gewichtete Residuenquadratsumme minimiert:

${\displaystyle SQR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}+{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{i}^{*}}SQR}$

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$     (arithmetisches Mittel der ${\displaystyle x_{i}}$)

${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$     (arithmetisches Mittel der ${\displaystyle y_{i}}$)

${\displaystyle s_{x}^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$     (Stichprobenvarianz der ${\displaystyle x_{i}}$)

${\displaystyle s_{y}^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}$     (Stichprobenvarianz der ${\displaystyle y_{i}}$)

${\displaystyle s_{xy}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}$     (Stichprobenkovarianz der ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$).

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:^[4]

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {s_{y}^{2}-\delta s_{x}^{2}+{\sqrt {(s_{y}^{2}-\delta s_{x}^{2})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}}}$

${\displaystyle \beta _{0}={\overline {y}}-\beta _{1}{\overline {x}}}$.

Die ${\displaystyle x_{i}^{*}}$-Koordinaten berechnet man mit

${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}+{\frac {\beta _{1}}{\beta _{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i})}$.

York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt^[5].

1. ↑ Charles H. Kummell: Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity. In: The Analyst. Band 6, Nummer 4, 1879, S. 97–105, JSTOR:2635646.
2. ↑ Tjalling Koopmans: Linear regression analysis of economic time series (= Publications of the Netherland Economic Institute. 20). De Erven F. Bohn, Haarlem 1937.
3. ↑ W. Edwards Deming: Statistical adjustment of data. Wiley u. a., New York NY 1943, (Unabriged and corrected republication. Dover Publications, New York NY 1985, ISBN 0-486-64685-8).
4. ↑ Paul Glaister: Least squares revisited. In: The Mathematical Gazette. Band 85, Nummer 502, 2001, S. 104–107, JSTOR:3620485.
5. ↑ Derek York, Norman M. Evensen, Margarita López Martı́nez, Jonás De Basabe Delgado: Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line. In: American Journal of Physics. Band 72, 2004, S. 367–375, doi:10.1119/1.1632486.