D’Alembertsches Prinzip

Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert) der klassischen Mechanik erlaubt die Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Zwangsbedingungen. Das Prinzip beruht auf dem Satz, dass die Zwangskräfte bzw. -momente in einem mechanischen System keine virtuelle Arbeit leisten.^[1][2][3]

Der Name „d’Alembertsches Prinzip“ wird von manchen Autoren für das Dynamische Gleichgewicht zwischen äußerer Kraft und d’Alembertscher Trägheitskraft verwendet,^[4] während andere Autoren dies mit heftigen Worten als eine unzulässige Verkürzung ablehnen.^[5]

Vorüberlegungen

Die Bewegungsgleichung für einen Massepunkt wird in einem Inertialsystem formuliert. Sie lautet nach dem zweiten newtonschen Gesetz:

${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}}$

Darin sind ${\displaystyle m}$ die Masse, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ die Absolutbeschleunigung und ${\displaystyle {\vec {F}}}$ die äußere Kraft. Diese Grundgleichung der Mechanik kann auf die Form:

${\displaystyle {\vec {F}}-m{\vec {a}}={\vec {0}}}$

gebracht werden. Der Term ${\displaystyle -m{\vec {a}}}$ wird als Kraft aufgefasst und als d'Alembertsche Trägheitskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{T}}$ bezeichnet.

${\displaystyle {\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}={\vec {0}}}$

Das dynamische Problem ist auf ein Gleichgewichtsproblem der Statik zurückgeführt. Man bezeichnet die Beziehung deshalb auch als dynamisches Gleichgewicht. Ein Problem der Dynamik kann somit auch mit Methoden der Statik behandelt werden, wenn Trägheitskräfte berücksichtigt werden.^[6] Beim d'Alembertschen Prinzip wird im Folgenden das Prinzip der virtuellen Arbeit ausgenutzt, das in der Statik zur Berechnung unbekannter Lagerkräfte eingesetzt werden kann.

Einführung

Bei einem System von N Massepunkten, welches Zwangsbedingungen unterliegt, lautet die Bewegungsgleichung für die Masse i:

${\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}={\vec {F}}_{i}}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ die resultierende äußere Kraft auf den Massepunkt i. Sie ist die Summe aus eingeprägter Kraft ${\displaystyle {\vec {F_{i}^{e}}}}$ und Zwangskraft ${\displaystyle {\vec {F_{i}^{z}}}}$:

${\displaystyle {\vec {F}}_{i}={\vec {F_{i}^{e}}}+{\vec {F_{i}^{z}}}\;.}$

Eingesetzt in die Newtonsche Bewegungsgleichung:

${\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}={\vec {F_{i}^{e}}}+{\vec {F_{i}^{z}}}\;.}$

Die Zwangskraft berechnet sich somit zu

${\displaystyle {\vec {F}}_{i}^{z}=m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\;.}$

Man bildet das Skalarprodukt der Zwangskräfte mit den virtuellen Verschiebungen^{[Anm. 1]} ${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{i}}$. Wenn nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit die Zwangskräfte insgesamt keine virtuelle Arbeit verrichten, verschwindet die Summe der Skalarprodukte von Zwangskräften und virtuellen Verschiebungen:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left({\vec {F}}_{i}^{z}\cdot \delta {\vec {r}}_{i}\right)=0\;.}$

Man erhält das d’Alembertsche Prinzip (in der Formulierung von Lagrange):^[1][7][8]

${\displaystyle {\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\right)\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0}}$

In der Gleichung treten die Zwangskräfte nicht mehr auf – nur die eingeprägten Kräfte. Die Zwangsbedingungen verstecken sich noch in den virtuellen Verschiebungen, denn es sind nur solche erlaubt, die mit den Zwangsbedingungen vereinbar sind.

Um daraus Bewegungsgleichungen zu gewinnen, geht man bei ${\displaystyle \,k}$ (holonomen) Zwangsbedingungen zu ${\displaystyle f=3N-k}$ unabhängigen Koordinaten (Freiheitsgraden) ${\displaystyle q=(q_{1}(t),...,q_{f}(t))}$ über und drückt Lage, Geschwindigkeit, Beschleunigung und virtuelle Verschiebungen der N Massen durch diese neuen Lagekoordinaten („generalisierte Koordinaten“) aus:

${\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(q)\;,\quad {\dot {\vec {r}}}_{i}={\dot {\vec {r}}}_{i}(q,{\dot {q}})\;,\quad {\ddot {\vec {r}}}_{i}={\ddot {\vec {r}}}_{i}(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\;,\quad \delta {{\vec {r}}_{i}}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\,\delta q_{j}\,.}$

Da sich die neuen Koordinaten unabhängig variieren lassen, ergeben sich ${\displaystyle f}$ Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich nach ${\displaystyle {\ddot {q}}}$ auflösen lassen. Die konkrete Vorgehensweise zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist dem nächsten Abschnitt zu entnehmen.

Für holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte (die sich aus einer Potentialfunktion ableiten lassen) ist das D’Alembert-Prinzip dann äquivalent zu den Lagrangegleichungen erster Art.

Gelegentlich wird schon die eingangs wiedergegebene einfache Umstellung der newtonschen Bewegungsgleichung als das d’Alembertsche Prinzip bezeichnet. Das übersieht aber wesentliche Folgerungen wie die Elimination von Zwangskräften, die keine virtuelle Arbeit leisten und kommt in den Worten von Georg Hamel „fast einer Beleidigung von d’Alembert gleich“.^[9] Es ist zudem zu beachten, dass das verwendete Prinzip der virtuellen Arbeit nicht aus den Newtonschen Axiomen folgt, sondern ein eigenes Grundpostulat darstellt.

Erweiterung auf Mehrkörpersysteme

Im allgemeinen Fall von Mehrkörpersystemen wird berücksichtigt, dass auch die virtuelle Arbeit der Zwangsmomente auf den virtuellen Verdrehungen verschwindet. Zur Berechnung der Zwangsmomente wird die Eulersche Gleichung verwendet.

${\displaystyle {\sum _{i=1}^{N}\left(\left[m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\right]\delta {\vec {r}}_{i}^{\,T}+\left[I_{i}\,{\dot {\vec {\omega }}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times I_{i}\,{\vec {\omega }}_{i}-{\vec {M}}_{i}^{e}\right]\delta {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}\right)=0}.}$

mit

${\displaystyle I_{i}}$ Trägheitstensor des Körpers i

${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}_{i}}$ Winkelbeschleunigung des Körpers i

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{i}}$ Winkelgeschwindigkeit des Körpers i

${\displaystyle {\vec {M}}_{i}^{e}}$ eingeprägtes Moment auf den Körper i

${\displaystyle \delta {\vec {\varphi }}_{i}}$ virtuelle Verdrehung des Körpers i.

Bei N Körpern und k Bindungen ergeben sich ${\displaystyle f=6\,N-k}$ Freiheitsgrade.

Die virtuellen Verschiebungen bzw. Verdrehungen erhält man aus den partiellen Ableitungen der translatorischen bzw. rotatorischen Lagekoordinaten nach den verallgemeinerten Koordinaten:

${\displaystyle \delta {{\vec {r}}_{i}}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\,\delta q_{j}\,}$

${\displaystyle \delta {{\vec {\varphi }}_{i}}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{j}}}\,\delta q_{j}}$

Die Beschleunigungen lassen sich in einen Teil, der nur von den zweiten Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten abhängt, und einen Restterm zerlegen:

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}_{i}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\,{\ddot {q}}_{j}+{\vec {a}}_{i}^{\,*}}$ und

${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}_{i}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{j}}}\,{\ddot {q}}_{j}+{\vec {\alpha }}_{i}^{\,*}}$.

Damit lässt sich das Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung in Matrixform darstellen.

${\displaystyle \mathbf {M} \,{\ddot {\vec {q}}}={\vec {F}}^{*}+{\vec {M}}^{*}}$

Dabei sind:

${\displaystyle \mathbf {M} }$ die f × f Massenmatrix

${\displaystyle {\vec {F}}^{*}}$ der Vektor der verallgemeinerten Kräfte

${\displaystyle {\vec {M}}^{*}}$ der Vektor der verallgemeinerten Momente

Die Elemente der Massenmatrix berechnen sich zu:

${\displaystyle M_{m,n}=\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}\,{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{n}}}+{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\cdot I_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{n}}}\right)}$

Für die Komponenten verallgemeinerten Kräfte bzw. Momente ergibt sich:

${\displaystyle F_{m}^{*}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\left[{\vec {F}}_{i}{^{e}}-m_{i}\,{\vec {a}}_{i}^{\,*}\right]\right)}$

${\displaystyle M_{m}^{*}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\left[{\vec {M}}_{i}{^{e}}-I_{i}\,{\vec {\alpha }}_{i}^{\,*}-{\vec {\omega }}_{i}\times I_{i}\,{\vec {\omega }}_{i}\right]\right)}$

Die Berechnung der Massenmatrix sowie der verallgemeinerten Kräfte und Momente kann numerisch im Rechner durchgeführt werden. Das Differentialgleichungssystem kann ebenfalls numerisch mit gängigen Programmen gelöst werden. Die Behandlung großer Mehrkörpersysteme mit kinematischen Bindungen wird so erst möglich.

Beispiele

Aus der Punktmechanik: das Fadenpendel

Abb. 1: Fadenpendel:
${\displaystyle \varphi }$ ist die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage und generalisierte Koordinate

Beim ebenen Fadenpendel mit der Masse ${\displaystyle m}$ wird der Winkel ${\displaystyle \varphi }$, mit dem der Faden aus der Ruheposition ausgelenkt ist, als Freiheitsgrad gewählt. Die konstante Fadenlänge ${\displaystyle l}$ stellt eine holonome Zwangsbedingung dar. Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse können daher in Abhängigkeit dieses Winkels ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\vec {r}}={\begin{bmatrix}l\sin {\varphi }\\-l\cos {\varphi }\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,{\dot {\varphi }}={\begin{bmatrix}l\cos {\varphi }\\l\sin {\varphi }\end{bmatrix}}{\dot {\varphi }}}$

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}={\begin{bmatrix}l\cos {\varphi }\\l\sin {\varphi }\end{bmatrix}}{\ddot {\varphi }}+{\begin{bmatrix}-l\sin {\varphi }\\l\cos {\varphi }\end{bmatrix}}{\dot {\varphi }}^{2}}$

Die virtuelle Verschiebung ergibt sich zu:

${\displaystyle \delta {\vec {r}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,\delta \varphi ={\begin{bmatrix}l\cos {\varphi }\\l\sin {\varphi }\end{bmatrix}}\delta \varphi }$

Als eingeprägte Kraft wirkt die Gewichtskraft:

${\displaystyle {\vec {G}}={\begin{bmatrix}0\\-m\,g\end{bmatrix}}}$

Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus der Bedingung, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet.

${\displaystyle \left(m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0\Rightarrow \left(m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}\right)\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,\delta \varphi =0.}$

Durch Auswertung der Skalarprodukte erhält man schließlich:

${\displaystyle m\,l^{2}\,{\ddot {\varphi }}=-m\,g\,l\,\sin \varphi }$

Masse und Fadenlänge lassen sich kürzen, so dass man die bekannte Differentialgleichung:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\,\sin \varphi }$

erhält.

Die Vorgehensweise erscheint bei diesem einfachen Beispiel sehr umständlich. Da aber nur Skalarprodukte ausgewertet werden müssen, kann dies bei großen Systemen automatisiert werden und numerisch im Rechner durchgeführt werden. Dies erleichtert die Aufstellung von Bewegungsgleichungen wesentlich.

Aus der Mechanik starrer Körper: der Drallsatz

In älteren Lehrbüchern zur Klassischen und Technischen Mechanik findet man oft eine elegante wie kurze Herleitung des kinetischen Momentensatzes (oder Drallsatz für starre Körper oder auch ‚Grundgleichung der Drehbewegung‘ genannt) aus dem d'Alembertschen Prinzip.^[10]

Wenn die Drehachse fest bleibt und somit keine Reaktionen an der Achse auftreten, so wirkt auf einen starren ausgedehnten Körper das Drehmoment der Größe

${\displaystyle {\vec {M}}=I\ {\dot {\vec {\omega }}}=\int {\vec {r}}_{\perp }^{2}dm\,\cdot {\dot {\vec {\omega }}}}$    (Grundgleichung der Drehbewegung).

Hierbei ist ${\displaystyle {\vec {\dot {\omega }}}}$ die Winkelbeschleunigung des starren Körpers durch die Kraftwirkung und ${\displaystyle I=\int {\vec {r}}_{\perp }\!^{2}\ dm}$ das Massenträgheitsmoment des Körpers und ${\displaystyle {\vec {r}}_{\perp }}$ der zur Rotationsachse ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ (Winkelgeschwindigkeit) senkrechte Anteil von ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (siehe auch nebenstehende Abbildung). Da wir zur weiteren Vereinfachung nur die x-y-Ebene des Körpers betrachten und den Ursprung O in die Drehachse legen, fällt ${\displaystyle {\vec {r}}_{\perp }}$ hierbei mit ${\displaystyle {\vec {r}}}$ zusammen (d. h. ${\displaystyle {\vec {r}}\perp {\vec {\omega }}}$).

Abb. 2: Zweidimensionaler Ausschnitt eines starren Körpers, der um eine feste Achse rotiert

Herleitung der Grundgleichung aus dem d’Alembertschen Prinzip:

Man greife zunächst ein beliebiges Massenelement dm des Körpers heraus, auf das die externe Kraft ${\displaystyle d{\vec {F}}^{e}}$ einwirke und die Rotation um die Achse verursacht. Bei jeder Kreisbewegung treten nun an diesem Körperelement radiale und tangentiale Massenbeschleunigungen auf:

${\displaystyle dm\cdot {\ddot {\vec {r}}}=dm({\vec {a}}_{r}\,+\,{\vec {a}}_{t})=d{\vec {F}}_{r}+d{\vec {F}}_{t}}$.

In der Lagrangeschen Fassung betrachtet man nur die Zwangskraft, die den starren Körper auf der Kreisbahn hält und die infolge der Massenreaktion ‚verloren‘ geht. Das ist der in radialer Richtung nach außen reagierende Kraftanteil

${\displaystyle -d{\vec {F}}_{r}=d{\vec {F}}_{t}-dm\cdot {\ddot {\vec {r}}}}$.^{[Anm. 2]}

Die Zwangskraft verrichtet keine virtuelle Arbeit: ${\displaystyle -d{\vec {F}}_{r}\cdot \delta {\vec {r}}=0}$. Sie steht senkrecht zu der mit den Zwangsbedingungen verträglichen virtuellen Verschiebung: ${\displaystyle d{\vec {F}}_{r}\perp \delta {\vec {r}}}$.

Äquivalent dazu bildet man also den Ausdruck

${\displaystyle {\left(d{\vec {F}}_{t}-dm\cdot {\ddot {\vec {r}}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0}}$.

${\displaystyle d{\vec {F}}_{t}}$ entspricht hierbei der tangential einwirkenden und ‚real ersichtlichen‘ Drehbeschleunigung: ${\displaystyle d{\vec {F}}_{t}=dm\,r\,{\dot {\omega }}\cdot {\vec {t}}}$. Die dazugehörige d’Alembertsche Trägheitskraft ${\displaystyle -d{\vec {F}}_{t}}$ wird auch Eulerkraft genannt. Dabei ist ${\displaystyle {\vec {t}}}$ der Einheitsvektor in tangentialer Richtung. Es ist dieser Kraftanteil der eingeprägten Kraft ${\displaystyle d{\vec {F}}^{e}}$, der nach dem d’Alembertschen Prinzip gegenüber der Drehbeschleunigung ‚verloren‘ geht und somit keine Arbeit verrichten soll. Als Gleichung folgt daraus, aufintegriert für alle (infinitesimal kleinen) Massenelemente des starren Körpers:

${\displaystyle {\int \left(d{\vec {F}}_{t}-dm\,r\,{\dot {\omega }}{\vec {t}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0}}$.

Wegen der rein geometrischen Beziehungen ${\displaystyle \delta {\vec {r}}=r\,\delta \phi \,{\vec {t}}}$ und ${\displaystyle {\vec {t}}^{2}=1}$ und wegen ${\displaystyle d{\vec {F}}_{t}=dF_{t}\cdot {\vec {t}}}$ folgt:

${\displaystyle {\int \left(dF_{t}\cdot r-\,dm\,r^{2}\,{\dot {\omega }}\right)\cdot \delta \phi =0}}$.

Hier erkennt man nun die d‘Alembertsche Fassung des Prinzips, wie es auch ursprünglich von seinen geistigen Urhebern Jakob Bernoulli, Jean d’Alembert und Leonhard Euler verstanden wurde: Sämtliche inneren Drehmomente ${\displaystyle dM=dF^{e}\cdot r}$ sollen sich bei der Drehung des starren Körpers im Gleichgewicht halten. Es folgt

${\displaystyle {\left(M-{\dot {\omega }}\int \,r^{2}\,dm\right)\cdot \delta \phi =\left(M-I\,{\dot {\omega }}\right)\cdot \delta \phi =0}}$.

Und da ${\displaystyle \delta \phi }$ beliebig ist, folgt die Grundgleichung der Drehbewegung ${\displaystyle M=I\cdot {\dot {\omega }}}$.

Zweikörpersysteme: Wellrad und Trommelwinde

Ernst Mach verwendet in seinem vielbeachteten Mechanikbuch das Beispiel eines Wellrades, um das d’Alembertsche Prinzip zu veranschaulichen.^[11] Diesem Beispiel folgend, können gleich mehrere Varianten von einfachen Maschinen dynamisch beschrieben werden.

Abb. 3: Veranschaulichung eines Zweikörpersystems. Das Wellrad (links) und eine Masse an einer Trommelwinde (rechts)

Das Wellrad

In vereinfachter Darstellung handelt es sich bei einem Wellrad um ein System aus zwei Schwerpunktmassen ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$, die über zwei befestigte Rollen von unterschiedlichen Radien ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ miteinander verbunden sind. (Siehe Abb. 3 links: Zur Vereinfachung der Vorzeichen wähle man die positive y-Richtung nach unten.) Nach Voraussetzung bestehe kein Gleichgewicht, und die Gewichtskraft ${\displaystyle m_{2}\cdot {\vec {g}}}$ zieht die Last ${\displaystyle m_{1}}$ hinauf. Auch ohne Reibung erzeugt die Seilverbindung eine innere Verlustwirkung, hervorgerufen durch Zwangskräfte des Systems ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}^{z},{\vec {F}}_{2}^{z}}$. Der jeweilige Kraftverlust an den zwei Körpern lässt sich dynamisch auf die Trägheitswirkung durch die Richtungsänderung an den Rollen zurückführen.

Die Verbindung und Dynamik der zwei Körper ist durch folgende Annahmen vollständig bestimmt:

1.) Prinzip von d’Alembert: Es verrichten die Zwangskräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}^{z},{\vec {F}}_{2}^{z}}$ keine virtuelle Arbeit.

2.) Durch die Richtungsumkehr am Wellrad sind sowohl die virtuellen Verschiebungen als auch alle Trägheitskräfte an ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ gegenläufig zueinander. Ihre Vorzeichen ändern sich jeweils, wobei ${\displaystyle ~\delta {\vec {y}}:=\delta {\vec {y}}_{2}=-\delta {\vec {y}}_{1}}$ vereinbart wird.

3.) Im gebundenen System kann nur die Trägheitswirkung der eingeprägten Kräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}^{e},{\vec {F}}_{2}^{e}}$ festgestellt werden. Gegenüber den als ‚befreit‘ angenommenen Körpern gehen sie als Kraftkomponente ein:

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}^{z}=m_{1}\cdot {\vec {g}}+{\vec {F}}_{1}^{e}}$ und ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}^{e}=m_{2}\cdot {\vec {g}}-{\vec {F}}_{2}^{e}}$.

1.) und 2.) ergeben zusammengefasst die Ausgangsgleichung:

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}^{z}\cdot (-\delta {\vec {y}})-{\vec {F}}_{2}^{z}\cdot \delta {\vec {y}}=0~~\Rightarrow ~~{\vec {F}}_{1}^{z}\cdot \delta {\vec {y}}+{\vec {F}}_{2}^{z}\cdot \delta {\vec {y}}=0}$.

Mit Einsetzung von 3.) nimmt das d’Alembertsche Prinzip hier die folgende Form an:

${\displaystyle \left(m_{1}\cdot {\vec {g}}+{\vec {F}}_{1}^{e}\right)\cdot \delta {\vec {y}}+\left(m_{2}\cdot {\vec {g}}-{\vec {F}}_{2}^{e}\right)\cdot \delta {\vec {y}}=0}$.

Alles Weitere sind analytische Umformungen, um den Drehwinkel ${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$ als generalisierte Koordinate zu verwenden. Dafür werden weitere Bewegungsgesetze benötigt:

4.) Die tangential gerichteten, eingeprägten Systemreaktionen ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}^{e},~i\in \{1,2\}}$ folgen der Grundgleichung der Mechanik

${\displaystyle {\vec {F}}_{i}^{e}=m_{i}\cdot {\vec {\ddot {y}}}_{i}}$.

5.) Die gesamte Dynamik der Kräfte und Verschiebungen findet (anti-)parallel zur y-Achse statt. Damit kann in allen Produkten direkt zu den Beträgen übergegangen werden.

6.) Für die Beträge der Tangentialbeschleunigung an den beiden Rollen ${\displaystyle r_{i},\,i=\{1,2\}}$ gilt

(i)${\displaystyle ~~{\ddot {y}}_{i}=r_{i}\cdot {\ddot {\varphi }},}$

(ii)${\displaystyle ~~\delta y_{i}=r_{i}\cdot \delta \varphi .}$

Das eingesetzt lautet die Gleichung:

${\displaystyle \left(m_{1}g+m_{1}\cdot (r_{1}{\ddot {\varphi }})\right)\cdot r_{1}\,\delta \varphi +\left(m_{2}g-m_{2}\cdot (r_{2}{\ddot {\varphi }})\right)\cdot r_{2}\,\delta \varphi =0,}$

und umgestellt:

${\displaystyle \left(m_{1}g\cdot r_{1}-m_{2}g\cdot r_{2}+m_{1}r_{1}^{2}{\ddot {\varphi }}+m_{2}r_{2}^{2}{\ddot {\varphi }}\right)\cdot \,\delta {\ddot {\varphi }}=0}$.^{[Anm. 3]}

Da nun die Richtung der Variation ${\displaystyle \delta {\vec {\varphi }}}$ beliebig ist, wird die Gleichung erfüllt, wenn der Klammerterm verschwindet. Dieser ergibt schließlich das Beschleunigungsgesetz des Wellrades:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}={\frac {m_{2}\cdot r_{2}-m_{1}\cdot r_{1}}{m_{1}\cdot r_{1}^{2}+m_{2}\cdot r_{2}^{2}}}\cdot g\,}$.

Die Trommelwinde:

Eine direkte Folgerung aus der dynamischen Beschreibung des Wellrades ist die Gleichung zur Masse an einer Trommel (Aufzug), wie sie bereits aus dem Lagrange-Formalismus hergeleitet wurde:

Hierbei wird die Schwerpunktmasse ${\displaystyle m_{2}}$ ersetzt durch die Rolle ${\displaystyle I}$ mit Radius ${\displaystyle r}$. Diese prägt der Last ${\displaystyle m}$ das Drehmoment ${\displaystyle {\vec {M}}=F_{2}^{e}\times {\vec {r}}}$ ein (siehe Abb. 3 rechts). Aus der Mechanik starrer Körper ist dann folgende Annahme zu ergänzen:

7.) Die Drehung der Rolle an den jeweiligen Rollen folgt betragsmäßig der Grundgleichung der Drehbewegung

${\displaystyle M=I\cdot {\ddot {\varphi }}~}$ (siehe auch das zweite Beispiel oben).

Hieraus ergibt sich direkt die d’Alembertsche Gleichung in der Form

${\displaystyle \left(mg+m{\ddot {y}}\right)\delta y+\left(I\cdot {\ddot {\varphi }}-M\right)\delta \varphi =0\,}$.^{[Anm. 4]}

${\displaystyle \Rightarrow ~\left(mg\,r+m\cdot r^{2}\,{\ddot {\varphi }}+I\cdot {\ddot {\varphi }}-M\right)\cdot \delta \varphi =0~}$

${\displaystyle \Rightarrow ~{\ddot {\varphi }}={\frac {M-mgr}{mr^{2}+I}}.}$

Literatur

• Werner Schiehlen: Technische Dynamik. Teubner Studienbücher, Stuttgart, 1986.
• Craig Fraser: D’Alembert’s Principle: The Original Formulation and Application in Jean D'Alembert's Traité de Dynamique (1743). Teil 1,2, Centaurus, Band 28, 1985, S. 31–61, 145–159.
• István Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. 5. Auflage. Berlin, Göttingen, Heidelberg 1961.
• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik. VCH. 3. Auflage, Weinheim 2006.
• Georg Hamel: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Springer, Heidelberg, Berlin, New York 1967.
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. VCH, 5. Auflage 1997, ISBN 3-527-29269-1.

Anmerkungen

1. ↑ Infinitesimale Verschiebungen heißen virtuell, wenn sie mit den Zwangsbedingungen verträglich sind. Außerdem sollen sie unmittelbar (oder instantan, zu einer festen Zeit) erfolgen.
2. ↑ Das Minuszeichen deutet an, dass diese Massenreaktion gleichbedeutend mit der Zentrifugalkraft ist. Es ist zugleich der algebraische Ausdruck für den Kraftverlust an der starren Bindung.
3. ↑ Man beachte, dass hier das ‚dynamische Gleichgewicht‘ steht, das d’Alembert und Lagrange ursprünglich mit ihrem Formalismus beabsichtigt haben. Der Anteil ${\displaystyle \delta W=\left(m_{1}g\cdot r_{1}-m_{2}g\cdot r_{2}\right)\cdot \,\delta {\ddot {\varphi }}=0\,}$ entspricht der statischen Gleichgewichtsbedingung nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit. Man erhält daraus die bekannte statische Gleichung

   ${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {r_{2}}{r_{1}}}~}$ (siehe dazu auch die Beschreibung im Eintrag Wellrad).

   Der Zusatzterm ${\displaystyle \delta M:=\left(m_{1}r_{1}^{2}\cdot {\ddot {\varphi }}+m_{2}r_{2}^{2}\cdot {\ddot {\varphi }}\right)\cdot \,\delta {\ddot {\varphi }}}$ hingegen bringt die ‚dynamische‘ Erweiterung zum Ausdruck. Mechanisch handelt es sich um das Trägheitsmoment der Massen ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ beim Umlenken um die jeweiligen Rollen.
4. ↑ Man beachte, dass hier die Differentialgleichung der Kompaktformel aus obigem Abschnitt für Mehrkörpersysteme steht: ${\displaystyle i=\{1,2\}}$ und ${\displaystyle m_{1}=m,I_{1}=0;\,m_{2}=0,I_{2}=I}$. Das heißt die erste Masse ist eine reine Punktmasse ohne Drehung, und die Trommel ist ein drehbarer starrer Körper ohne Unwucht, deren Schwerpunkt keine Beschleunigungen erfährt.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik: Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 7. Auflage. Springer Vieweg, 2013, ISBN 978-3-8348-2235-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
2. ↑ Klaus-Peter Schnelle: Simulationsmodelle für die Fahrdynamik von Personenkraftwagen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Fahrwerkskinematik. VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-144612-2. (Fortschrittsberichte VDI Nr. 146), S. 73.
3. ↑ Skript TU Berlin, PDF 120 kB (Memento vom 5. März 2016 im Internet Archive)
4. ↑ Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen. Hanser 2007, S. 34.
5. ↑ Istvan Szabo: Geschichte der Mechanischen Prinzipien. Springer-Verlag, 1987, S. 40.
6. ↑ Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7, S. 88–110 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „The addition of the force of inertia I to the acting force F changes the problem of motion to problem of equilibrium.“ 
7. ↑ István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Springer DE, 1987, ISBN 978-3-7643-1735-5, S. 39– (google.de [abgerufen am 8. Februar 2013]). 
8. ↑ Kurt Magnus, H. H. Müller-Slany: Grundlagen der Technischen Mechanik. 7. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 3-8351-0007-6, S. 258 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
9. ↑ Hamel Theoretische Mechanik, Springer 1967, S. 220.
10. ↑ István Szabó, Einführung in die Technische Mechanik. 5. Auflage, 1961, Kap. V, §28, S. 397 f. (Szabó folgt der Lagrangeschen Fassung.)
    Georg Hamel: Elementare Mechanik. Leipzig, Berlin 1912, Kap. VII, §37, S. 302 f. (Hamel folgt der d’Alembertschen Fassung. Textarchiv – Internet Archive).
    Georg Hamel, Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Berlin, Heidelberg, New York 1967. Seite 118 f. und Seite 225.
    Arnold Sommerfeld: Mechanik. Band I der Vorlesungen über Theoretische Physik. 8. Auflage. Thun, Frankfurt a. M. 1977, Kap. II §11, S. 54.
11. ↑ Ernst Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, historisch – kritisch dargestellt. 3. Auflage. (Brockhaus) Leipzig 1897. Kap. 3, §5 (Der D’Alembertsche Satz), Seite 331 f. Textarchiv – Internet Archive (Zugriff: 22. November 2022).