Clarke-Transformation

Die Clarke-Transformation, benannt nach Edith Clarke und auch als α,β-Transformation bezeichnet, dient dazu, mehrphasige Größen wie bei einer Drehstrommaschine mit den Achsen U, V, W, … in ein einfacheres zweiachsiges Koordinatensystem mit den Achsen α, β zu überführen. Die Clarke-Transformation ist zusammen mit der d/q-Transformation eine der mathematischen Grundlagen zur Vektorregelung von Drehstrommaschinen und beschreibt eine von mehreren möglichen Raumzeigerdarstellungen.

Allgemeines

Anordnung der im Stator angebrachten Spulen im sogenannten statorfesten αβ-Koordinatensystem.

Bei der Clarke-Transformation wird das zugrundeliegende rechtwinklige Koordinatensystem gleich dem ruhenden Stator gewählt und in der komplexen Ebene mit dem Realteil α und dem Imaginärteil β abgebildet, wobei die Summe der drei Außenleiterströme zu jedem Zeitpunkt immer null ist. Im Dreiphasensystem sind die drei Spulen des Stators einer Drehfeldmaschine jeweils um einen Winkel von 120° versetzt, wobei definitionsgemäß die Achse U mit der reellen Achse α zusammenfällt, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt.

Die Clarke-Transformation überführt die drei Phasenströme ${\displaystyle I_{U}}$, ${\displaystyle I_{V}}$ und ${\displaystyle I_{W}}$ in zwei dazu gleichwertige Ströme ${\displaystyle I_{\alpha }}$ und ${\displaystyle I_{\beta }}$.

${\displaystyle I_{\alpha }=\left(\cos(0^{\circ })\cdot I_{U}+\cos(120^{\circ })\cdot I_{V}+\cos(240^{\circ })\cdot I_{W}\right){\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle I_{\beta }=\left(\sin(0^{\circ })\cdot I_{U}+\sin(120^{\circ })\cdot I_{V}+\sin(240^{\circ })\cdot I_{W}\right){\frac {2}{3}}}$

In elementweiser Matrixschreibweise lautet sie:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{\alpha }\\I_{\beta }\end{bmatrix}}={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{U}\\I_{V}\\I_{W}\end{bmatrix}}}$

Aufgrund der Voraussetzung, dass zu jedem Zeitpunkt die Summe der drei Außenleiterströme immer null ist, lässt sich diese Gleichung vereinfachen zu:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{\alpha }\\I_{\beta }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{U}\\I_{V}\end{bmatrix}}}$

In der Praxis bedeutet die Vereinfachung, dass nur bei zwei und nicht bei drei Strängen der Strom beispielsweise durch Stromwandler tatsächlich gemessen werden muss.

Die inverse Clarke-Transformation lautet:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{U}\\I_{V}\\I_{W}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{\alpha }\\I_{\beta }\end{bmatrix}}}$

Die Transformation ist nicht nur auf die elektrischen Ströme beschränkt, sondern kann für alle anderen elektrischen Größen wie die dabei auftretenden elektrischen Spannungen oder die magnetischen Flussdichten analog angewandt werden.

Erweiterung

Bei einem nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensystem kann durch Hinzufügen eines dritten Parameters ${\displaystyle I_{\gamma }}$ im Rahmen der Theorie der symmetrischen Komponenten die α,β-Transformation zu der α,β,γ-Transformation erweitert werden. ${\displaystyle I_{\gamma }}$ ist die Summe der drei Phasenströme:

${\displaystyle I_{\gamma }={\frac {1}{3}}(I_{U}+I_{V}+I_{W})}$

mit der dann auch für nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensystemen gültigen α,β,γ-Transformation:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{\alpha }\\I_{\beta }\\I_{\gamma }\end{bmatrix}}={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{U}\\I_{V}\\I_{W}\end{bmatrix}}}$

und der dazu inversen α,β,γ-Transformation:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{U}\\I_{V}\\I_{W}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{\alpha }\\I_{\beta }\\I_{\gamma }\end{bmatrix}}}$

Quellen

• Edith Clarke: Circuit Analysis of AC Power Systems. Vol. I. J. Wiley & sons, New York 1943. 
• Field Orientated Control of 3-Phase AC-Motors (PDF; 99 kB), Applikationsschrift BPRA073, Texas Instruments Europe, 1998