Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes ${\displaystyle y}$ nach ${\displaystyle m+n}$ Schritten, beginnend im Zustand ${\displaystyle x}$, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation ${\displaystyle z}$ dar. Formal bedeutet dies:^[1]

Sei ${\displaystyle (X_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix ${\displaystyle \Pi }$ und Zustandsraum ${\displaystyle \mathrm {E} }$.

Dann gilt für alle ${\displaystyle x,y\in \mathrm {E} }$

${\displaystyle P(X_{m+n}=y\mid X_{0}=x)=\sum _{z\in \mathrm {E} }P(X_{m+n}=y\mid X_{m}=z)P(X_{m}=z\mid X_{0}=x)}$.

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix ${\displaystyle \Pi =(\Pi (x,y))_{x,y\in \mathrm {E} }}$ ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{m+n}=y\mid X_{0}=x)&{\overset {(*)}{=}}\Pi ^{n+m}(x,y)\\&{=}\sum _{z\in \mathrm {E} }\Pi ^{m}(x,z)\Pi ^{n}(z,y)\\&{\overset {(*)}{=}}\sum _{z\in \mathrm {E} }P(X_{m+n}=y\mid X_{m}=z)P(X_{m}=z\mid X_{0}=x)\,,\end{aligned}}}$

wobei bei ${\displaystyle (\ast )}$ ausgenutzt wurde, dass ${\displaystyle P(X_{m+n}=y\mid X_{n}=x)=\Pi ^{m}(x,y)\,}$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} _{0},x,y\in \mathrm {E} \,}$ mit ${\displaystyle P(X_{n}=x)>0\,}$ gilt.

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe ${\displaystyle (K(t))_{t\geq 0}}$ von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als^[2]

${\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad K(s+t)=K(s)K(t)\,,}$

wobei ${\displaystyle K(s)K(t)}$ die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} ,t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\quad K\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}K(t_{i})\,.}$

1. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
2. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.