Wirtinger-Kalkül

Wilhelm Wirtinger

Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

Wirtinger-Kalkül

Eine komplexe Zahl ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ wird durch ${\displaystyle z:=x+\mathrm {i} y}$ in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${\displaystyle f=u+\mathrm {i} v\colon G\to \mathbb {C} }$ eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial x}}}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial y}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial y}}}$.

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ verwendet man ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ und ${\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y}$.

Motivation und Definition

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von ${\displaystyle f}$ als

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y}$.

Aus ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ und ${\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y}$ ergibt sich

${\displaystyle \textstyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})}$ und ${\displaystyle \textstyle y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})={\frac {\mathrm {i} }{2}}({\bar {z}}-z)}$.

Für die Differentiale erhält man daraus

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(\mathrm {d} z+\mathrm {d} {\bar {z}})}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {i} }{2}}(\mathrm {d} {\bar {z}}-\mathrm {d} z)}$.

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} {\bar {z}}}$.

Um (formal) die Beziehung

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {d} {\bar {z}}}$

zu erhalten, setzt man

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}}$ schreibt man auch kurz ${\displaystyle \,\partial f}$, für ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$ schreibt man ${\displaystyle {\bar {\partial }}f}$. Der Operator ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Holomorphe Funktionen

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn ${\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}$ gilt. In diesem Fall ist ${\displaystyle \partial f}$ die Ableitung von ${\displaystyle f}$. Dies gilt, da die Gleichung ${\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}$ eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion ${\displaystyle f}$ die Gleichung ${\displaystyle \partial f=0}$ so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus ${\displaystyle {\overline {\partial }}f}$ berechnet werden.

Eigenschaften

Beziehung zur partiellen Ableitung

Es gelten die Gleichungen

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial f+{\overline {\partial }}f}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=\mathrm {i} \left(\partial f-{\overline {\partial }}f\right)}$.

Linearität

Die Operatoren ${\displaystyle \partial }$ und ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ sind ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linear, das heißt für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ und reell differenzierbare Funktionen ${\displaystyle f,g\colon G\to \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle \partial (af+bg)=a\partial f+b\partial g}$

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}(af+bg)=a{\overline {\partial }}f+b{\overline {\partial }}g}$.

Komplexe Konjugation

Für jede reell differenzierbare Funktion ${\displaystyle f}$ gilt

${\displaystyle {\overline {\partial }}f={\overline {\partial {\overline {f}}}}}$

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}\ {\overline {f}}={\overline {\partial f}}}$.

Kettenregel

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

${\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)}{\partial z}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial z}}(z_{0})}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})}$.

Hauptsymbol

Das Hauptsymbol von ${\displaystyle \partial }$ ist ${\displaystyle \xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}-\mathrm {i} \xi _{2})}$ und das Hauptsymbol von ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ ist ${\displaystyle \xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}+\mathrm {i} \xi _{2})}$. Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

${\displaystyle \Delta f=4\partial {\overline {\partial }}f=4{\overline {\partial }}\partial f}$

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

${\displaystyle D:=2{\begin{pmatrix}0&-\partial \\{\overline {\partial }}&0\end{pmatrix}}}$

ein Dirac-Operator ist.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}}$ ist ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\pi z}}}$, das heißt die durch die Funktion ${\displaystyle \textstyle u(z)={\frac {1}{\pi z}}}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}u(z)=\delta }$, wobei ${\displaystyle \delta }$ die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Dolbeault-Operator

Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ zerlegt in ${\displaystyle (z_{1},\ldots z_{n})=(x_{1}+\mathrm {i} y_{1},\ldots ,x_{n}+\mathrm {i} y_{n})}$. Sei nun ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ eine offene Teilmenge und ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):D\rightarrow \mathbb {C} ^{m}}$ eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{j}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)\quad j=1,\ldots ,n}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{j}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)\quad j=1,\ldots ,n}$

auf ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch

${\displaystyle \partial f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}f{\rm {d}}z_{j}}$

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}f{\rm {d}}{\overline {z}}_{j}}$

definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass ${\displaystyle f}$ genau dann holomorph ist, wenn ${\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}$ gilt und die reelle Ableitung wird durch

${\displaystyle {\mathrm {d} }f={\overline {\partial }}f+\partial f}$

dargestellt. Im holomorphen Fall gilt ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f=\partial f}$, da ja ${\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}$ gilt.

Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Del Bar Operator. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.
• Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen, Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.