Catalansche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen und keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung  mit  lautet , , und .

Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.

Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Um 1320 bewies Levi ben Gershon:

Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für nur die Lösung und gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veröffentlicht.[1]

Später fand man einige Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h., dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So bewies 1976 Robert Tijdeman den Satz von Tijdeman, demzufolge höchstens endlich viele ganzzahlige Lösungen der catalanschen Gleichung existieren können.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder und erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder und sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

 und 

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen und an: .

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Verallgemeinerung

Man kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern, indem man die Gleichung

  mit natürlichen

betrachtet. Es wird vermutet, dass auch diese Gleichung für alle nur endlich viele Lösungen hat, dass es also für jede natürliche Zahl nur endlich viele Paare von ganzzahligen Potenzen gibt, deren Differenz ist.

Die folgende Liste gibt bis alle Lösungen dieser Gleichung an, wobei ist. Der größte dabei auftretende Wert für ist in , im Bereich von bis sind für keine weiteren Lösungen zu finden.


Siehe auch

  • Pillai-Vermutung

Literatur

  • Preda Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture. J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167–195
  • Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan'schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67
  • Yuri Bilu: Catalan´s Conjecture (after Mihailescu). Seminaire Bourbaki, Nr. 909, 2002, (PDF).
  • Maurice Mischler, Jacques Boéchat zur Catalan Vermutung, französisch (Arxiv).
  • Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan´s Conjecture. Diplomarbeit, Universität Leiden 2003, (PDF).
  • Henri Cohen zum Beweis der Catalan Vermutung, französisch (Online).

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Eugène Charles Catalan: Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur par Mr. E. Catalan, Répétiteur à l'école polytechnique de Paris. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844 (Scan des Originals online) (abgerufen am 16. April 2019)