Cartan-Unteralgebra

In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden Cartan-Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Der Rang einer Lie-Algebra (oder der zugehörigen Lie-Gruppe) ist definiert als die Dimension der Cartan-Unteralgebra. Ein Beispiel einer Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen.

Definition

Es sei eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn

  •   für ein und

gilt.

Beispiele

Eine Cartan-Unteralgebra von

ist die Algebra der Diagonalmatrizen

.

Jede Cartan-Unteralgebra ist zu konjugiert.

Dagegen hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

und

.

Existenz und Eindeutigkeit

Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen erzeugt wird (für in der Lie-Algebra und nilpotent).

Eigenschaften

Wenn eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung auf ist simultan diagonalisierbar mit als Eigenraum zum Gewicht . Das heißt, es gibt eine Zerlegung

mit

und

.

Im Beispiel

ist, wenn die Elementarmatrix mit Eintrag an der Stelle und Einträgen sonst bezeichnet

mit für

.

Literatur

  • Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.
  • Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.