Càdlàg-Funktion

Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym (französisch continue à droite, limite à gauche „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL (right continuous, left limits). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).

Definition

Verteilungsfunktionen sind Beispiele für Càdlàg-Funktionen

Sei ${\displaystyle E}$ ein polnischer Raum wie beispielsweise ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Eine Funktion

${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to E}$

heißt

• Càdlàg-Funktion, wenn für alle ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in ${\displaystyle x}$ existiert und endlich ist.
• Càglàd-Funktion, wenn für alle ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in ${\displaystyle x}$ existiert und endlich ist.

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} ^{d}}$ auf einem Intervall ${\displaystyle I=[a,b]}$ wird oft mit ${\displaystyle D([a,b])}$ bezeichnet.

Anwendungen in der Stochastik

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)}$ einer reellen Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad ${\displaystyle t\rightarrow X_{t}}$ an jeder Stelle ${\displaystyle t}$ rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cadlag Function. In: MathWorld (englisch).