Bose-Einstein-Statistik

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl ${\displaystyle \langle n(E)\rangle }$ eines Quantenzustands der Energie ${\displaystyle E\,}$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie ${\displaystyle E}$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen ${\displaystyle x,y,z,m\,}$ zweier Bosonen (${\displaystyle x,y\,}$ und ${\displaystyle z\,}$: Ortsvariable; ${\displaystyle m\,}$: Spinvariable) die Wellenfunktion ${\displaystyle \psi \,}$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt ${\displaystyle (\psi \rightarrow \psi )}$, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt ${\displaystyle (\psi \rightarrow -\psi )}$. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

${\displaystyle \langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}}$

mit

• dem chemischen Potential ${\displaystyle \mu }$, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: ${\displaystyle \mu <E}$;
  daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte ${\displaystyle E-\mu >0}$ definiert.
• der Energienormierung ${\displaystyle \beta }$. Die Wahl von ${\displaystyle \beta }$ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
  • üblicherweise wird sie gewählt zu ${\displaystyle \beta =1/(k_{\mathrm {B} }T)}$ mit der Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$;
  • sie beträgt ${\displaystyle \beta =1/T}$, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur ${\displaystyle T_{\lambda }}$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass ${\displaystyle \mu \,}$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei ${\displaystyle \langle n(E)\rangle }$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad ${\displaystyle g_{i}=2s+1}$ zu multiplizieren (${\displaystyle s\,}$: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei konstanter Temperatur ${\displaystyle T}$, Teilchenzahl ${\displaystyle N}$ und Volumen ${\displaystyle V}$) die freie Energie

${\displaystyle F=E-TS\qquad (1)}$

ein Minimum annimmt, kann die Bose-Einstein-Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden. Es sei ${\displaystyle N}$ die Gesamtzahl aller Bosonen und ${\displaystyle N_{i}}$ die Anzahl Bosonen im Energieniveau ${\displaystyle E_{i}}$ mit ${\displaystyle i=1,2,\dots ,I}$, d. h. die ${\displaystyle N}$ Bosonen seien über die Energieniveaus ${\displaystyle E_{i}}$ verteilt. ${\displaystyle D_{i}}$ sei die Anzahl der möglichen Zustände im Energieniveau ${\displaystyle E_{i}}$, d. h. die Energieniveaus ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{I}}$ seien jeweils ${\displaystyle D_{1},D_{2},\dots ,D_{I}}$ -fach entartet. Für den Makrozustand des Systems ist es unerheblich, welche der ${\displaystyle N}$ Bosonen sich im ${\displaystyle i}$-ten Energieniveau befinden und welche der ${\displaystyle D_{i}}$ Zustände sie darin besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch ${\displaystyle N_{1},N_{2},\dots ,N_{I}}$ bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}&\qquad (2)\\E&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}E_{i}&\qquad (3)\\S&=k_{\rm {B}}\ln W.&\qquad (4)&\end{aligned}}}$

Gleichung (2) gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen ${\displaystyle N_{i}}$ variiert werden, um das Minimum von ${\displaystyle F}$ zu erreichen. Gleichung (3) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie ${\displaystyle E}$ des Systems an. Gleichung (4) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei ${\displaystyle \textstyle W=\prod _{i=1}^{I}W_{i}}$ die Wahrscheinlichkeit für die Besetzungszahlen ${\displaystyle N_{1},N_{2},\dots ,N_{I}}$ angibt, d. h. die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils ${\displaystyle N_{i}}$ Bosonen auf die Plätze ${\displaystyle D_{i}}$ für alle Energieniveaus ${\displaystyle i=1,2,\dots ,I}$. Aus Gleichung (4) folgt damit:

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \prod _{i=1}^{I}W_{i}=k_{\rm {B}}\sum _{i=1}^{I}\ln W_{i}.\qquad (5)}$

Dabei gibt der Binomialkoeffizient

${\displaystyle W_{i}={\binom {N_{i}+D_{i}-1}{N_{i}}}={\frac {(N_{i}+D_{i}-1)!}{N_{i}!(D_{i}-1)!}}}$

die Anzahl der Möglichkeiten an, dass ${\displaystyle N_{i}}$ Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das ${\displaystyle D_{i}}$-fach entartete Energieniveau ${\displaystyle E_{i}}$ zu besetzen (Kombination mit Wiederholung von ${\displaystyle N_{i}}$ Teilchen).

Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling-Reihe (${\displaystyle \ln k!\approx k\ln k-k}$ für ${\displaystyle k\to \infty }$) und ${\displaystyle N_{i}>>1,D_{i}>>1}$ ergibt sich weiter

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln W_{i}&=\ln(N_{i}+D_{i}-1)!-\ln N_{i}!-\ln(D_{i}-1)!\\&\approx (N_{i}+D_{i}-1)\ln(N_{i}+D_{i}-1)-(N_{i}+D_{i}-1)-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}-(D_{i}-1)\ln(D_{i}-1)+(D_{i}-1)\\&=(N_{i}+D_{i}-1)\ln(N_{i}+D_{i}-1)-N_{i}\ln N_{i}-(D_{i}-1)\ln(D_{i}-1).\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (6)\\\end{aligned}}}$

Um die Verteilung zu finden, bei der die freie Energie ${\displaystyle F}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle N=\mathrm {const} }$, aber ${\displaystyle N_{i}}$ variabel, minimal wird, kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren benutzt werden:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}-\lambda {\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=0\qquad }$ für ${\displaystyle i=1,2,3\dots I.\qquad (7)}$

Darin ist ${\displaystyle \lambda }$ der (von ${\displaystyle i}$ unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Hierbei gilt für die partiellen Ableitungen ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=1}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}=E_{i}}$, da jedes ${\displaystyle N_{i}}$ genau einmal linear in der Summe von Gleichung (2) bzw. (3) vorkommt. Da ${\displaystyle N_{i}}$ nur Variable von ${\displaystyle W_{i}}$, aber nicht von ${\displaystyle W_{j}}$ mit ${\displaystyle j\neq i}$ ist, vereinfacht sich die Summe von Gleichung (5) durch die partielle Ableitung nach ${\displaystyle N_{i}}$ wie folgt: ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=k_{\rm {B}}{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}}$.

Damit ergibt sich aus Gleichung (1) und (7):

${\displaystyle \lambda ={\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}={\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}-T{\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=E_{i}-k_{\rm {B}}T{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}.\qquad (8)}$

Die partielle Ableitung ${\displaystyle {\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}}$ kann aus Gl. (6) mit ${\displaystyle N_{i}>>1}$ berechnet werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}&\approx \ln(N_{i}+D_{i}-1)+1-\ln N_{i}-1\\&=\ln(N_{i}+D_{i}-1)-\ln N_{i}\\&=\ln(D_{i}/N_{i}+1-1/N_{i})\\&\approx \ln(D_{i}/N_{i}+1).\\\end{aligned}}}$

Damit ergibt sich aus Gleichung (8)

${\displaystyle \lambda =E_{i}-k_{\rm {B}}T\ln(D_{i}/N_{i}+1)}$.

Einsetzen der durch ${\displaystyle f_{i}:={\frac {N_{i}}{D_{i}}}}$ gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit ${\displaystyle f_{i}}$ und Umstellung ergibt

${\displaystyle f_{i}={\frac {1}{\exp {\frac {E_{i}-\lambda }{k_{\rm {B}}T}}-1}}}$.

Dies ist die Bose-Einstein-Statistik. Der Lagrange-Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential ${\displaystyle \mu =\lambda }$.

• U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – a Concise Overview. Springer, Berlin//Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch).
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik. Verlag Harri Deutsch (ehem. Akademie Verlag), Berlin 1987 (verwendet unübliche Temperatureinheit).

• Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker: Thermodynamics and Statistical Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1997, ISBN 0-387-94299-8 (englisch).  insbes. S. 310–313

• Marcelo Alonso, Edward J. Finn: Fundamental University Physics, Vol. III, Quantum and Statistical Physics. Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts 1968 (englisch). QRSTUV-DA-89876; insbes. Kap. 13.2, S. 519; Kap. 13.5, S. 529

• Fermi-Dirac-Statistik
• Boltzmann-Statistik

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