Borelmaß

Ein Borel-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach Émile Borel benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

Definition

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum ${\displaystyle (X,\tau )}$ mit borelscher σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma (\tau )}$. Ein Maß

${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\to [0,\infty ]}$

heißt ein Borel-Maß, wenn für jedes ${\displaystyle x\in X}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle U_{x}}$ von ${\displaystyle x}$ existiert mit ${\displaystyle \mu (U_{x})<\infty }$.^[1]

Somit sind Borel-Maße lokal endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Weitere Bedeutungen

Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet^[2]. Manchmal werden auch

• äußere Maße, bezüglich derer alle Borelmengen Carathéodory-messbar sind^[3]
• beliebige Maße auf der borelschen σ-Algebra eines topologischen Raumes^[4]

• das Maß auf der borelschen σ-Algebra auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, das jedem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ das Maß ${\displaystyle b-a}$ zuordnet

als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

Eigenschaften

Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist ${\displaystyle x\in X}$, so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung ${\displaystyle U_{x}}$ ein kompaktes ${\displaystyle K_{x}}$ und eine offene Umgebung ${\displaystyle O_{x}}$ von ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle O_{x}\subset K_{x}\subset U_{x}}$. Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann ${\displaystyle \mu (O_{x})\leq \mu (K_{x})<\infty }$ und ${\displaystyle O_{x}}$ ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge ${\displaystyle K}$ endliches Maß hat: Für ${\displaystyle x\in K}$ sei ${\displaystyle O_{x}}$ eine offene Umgebung von ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle \mu (O_{x})<\infty }$. Dann ist ${\displaystyle (O_{x})_{x\in K}}$ eine offene Überdeckung von ${\displaystyle K}$. Aus der Definition der Kompaktheit folgt, dass eine endliche Teilüberdeckung ${\displaystyle (O_{x_{i}})_{i\in I},\;|I|<\infty }$ existiert; damit ist ${\displaystyle \mu (K)\leq \sum _{i\in I}\mu (O_{x})<\infty }$.

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

Verwandte Konzepte

Moderate Maße

Ein Borel-Maß heißt ein moderates Maß, wenn eine Folge von offenen Mengen ${\displaystyle (O_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ existiert, so dass

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }O_{n}}$

ist und ${\displaystyle \mu (O_{n})<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein reguläres Maß ist.

Radon-Maße

Borel-Maße nennt man Radon-Maße, wenn sie von innen regulär sind, es also gilt, dass

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (K)\mid K\subset A,\ K\ {\textrm {kompakt}}\}}$

für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$. Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.

Reguläre Borel-Maße

Ein Borel-Maß wird ein reguläres Borel-Maß genannt, wenn es zusätzlich noch ein Reguläres Maß ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 

Einzelnachweise

1. ↑ Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313.
2. ↑ V.V. Sazonov: Borel Measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 
3. ↑ Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC-Press, Boca Raton FL u. a. 1992, ISBN 0-8493-7157-0. 
4. ↑ Eric W. Weisstein: Borel Measure. In: MathWorld (englisch).