Bloch-Gruppe

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Bloch-Gruppe ein Ansatz zur expliziten Beschreibung der 3. algebraischen K-Theorie von Körpern. Sie ist auch von Bedeutung bei der Untersuchung von Dilogarithmen, bei der Formalisierung des 3. Hilbertschen Problems und in der Topologie 3-dimensionaler hyperbolischer Mannigfaltigkeiten.

Definition

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und

${\displaystyle \mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]}$

die von ${\displaystyle K\setminus \left\{0,1\right\}}$ formal erzeugte freie abelsche Gruppe. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle \left[x\right]}$ das ${\displaystyle x\in K\setminus \left\{0,1\right\}}$ entsprechende Element von ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]}$.

Die Prä-Bloch-Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {p}}(K)}$ ist als Quotient von ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]}$ modulo der von allen "5-Term-Relationen"

${\displaystyle \left[x\right]-\left[y\right]+\left[{\frac {y}{x}}\right]-\left[{\frac {1-x^{-1}}{1-y^{-1}}}\right]+\left[{\frac {1-x}{1-y}}\right],\quad x,y\in K\setminus \left\{0,1\right\}}$

erzeugten Untergruppe definiert.

Ein Homomorphismus

${\displaystyle \phi \colon \mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]\to K^{*}\otimes _{\mathbb {Z} }K^{*}}$

wird definiert durch

${\displaystyle \phi \left(\sum _{i}\lambda _{i}z_{i}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}z_{i}\otimes (1-z_{i})}$

für ${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {Z} ,z_{i}\in K\setminus \left\{0,1\right\}}$. Man rechnet nach, dass ${\displaystyle \phi }$ einen wohldefinierten Homomorphismus

${\displaystyle D\colon {\mathfrak {p}}(K)\to (K^{*}\otimes K^{*})/\langle x\otimes y-y\otimes x\colon x,y\in K^{*}\rangle }$

induziert. Dieser Homomorphismus wird wegen des Zusammenhangs zu Hilberts 3. Problem als Dehn-Invariante bezeichnet.

Die Bloch-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {B} (K)\subset {\mathfrak {p}}(K)}$ ist als Kern von ${\displaystyle D}$ definiert.

Aus der Definition der Bloch-Gruppe und dem Satz von Matsumoto folgt, dass die Blochgruppe Teil einer exakten Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {B} (K)\longrightarrow {\mathfrak {p}}(K){\stackrel {D}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}\longrightarrow \operatorname {K} _{2}(K)\longrightarrow 0}$

ist. Diese Sequenz wird als Bloch-Suslin-Komplex bezeichnet und gelegentlich auch als Definition der Bloch-Gruppe verwendet.

Geometrische Interpretation

Es sei ${\displaystyle P^{1}K}$ die projektive Gerade über dem Körper ${\displaystyle K}$ und

${\displaystyle (C_{*}(P^{1}K),d_{*})}$

der Kettenkomplex, dessen ${\displaystyle i}$-te Gruppe ${\displaystyle C_{i}(P^{1}K)}$ die von den ${\displaystyle (i+1)}$-Tupeln

${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{i})}$

paarweise verschiedener Punkte ${\displaystyle x_{k}\in P^{1}K}$ formal erzeugte freie abelsche Gruppe und dessen Differential ${\displaystyle d_{i}\colon C_{i}(P^{1}K)\to C_{i-1}(P^{1}K)}$ durch die Formel

${\displaystyle d_{i}(x_{0},\ldots ,x_{i})=\sum _{k=0}^{i}(-1)^{k}(x_{0},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{i})}$

gegeben ist. Dann ist^[1]

${\displaystyle {\mathfrak {p}}(K)=H_{3}(C_{*}(P^{1}K)\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} ,d\otimes id)}$

für die Wirkung von ${\displaystyle G:=PGL(2,K)}$ auf ${\displaystyle P^{1}K}$.

Insbesondere hat man einen kanonischen Homomorphismus

${\displaystyle H_{3}(PGL(2,K)\to {\mathfrak {p}}(K)}$,

der von der durch

${\displaystyle g\to g.\infty }$

gegebenen Abbildung

${\displaystyle PGL(2,K)\to P^{1}(K)}$

induziert wird. (Die Wahl von ${\displaystyle \infty \in P^{1}K}$ als Basispunkt ist willkürlich, Wahl eines anderen Basispunktes würde ebenfalls einen Homomorphismus induzieren.) Das Bild dieses Homomorphismus liegt sogar in ${\displaystyle B(K)}$.

Unter dem Isomorphismus ${\displaystyle H_{3}(C_{*}(P^{1}K)\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} ,d\otimes id)\to {\mathfrak {p}}(K)}$ entspricht ein 4-Tupel von Elementen aus ${\displaystyle P^{1}K}$ seinem Doppelverhältnis. Entsprechend bildet also der Homomorphismus

${\displaystyle H_{3}(PGL(2,K)\to {\mathfrak {p}}(K)}$

ein 4-Tupel ${\displaystyle (g_{0},g_{1},g_{2},g_{3})}$ auf das Doppelverhältnis der 4 Punkte ${\displaystyle g_{0}\infty ,g_{1}\infty ,g_{2}\infty ,g_{3}\infty }$ ab.

Bloch-Wigner-Folge

Für algebraisch abgeschlossene Körper ${\displaystyle K}$gibt es eine exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow \mu _{K}\longrightarrow H_{3}(SL(2,K))\longrightarrow {\mathfrak {p}}(K)\longrightarrow \wedge ^{2}(K^{*}/\mu _{K})\longrightarrow H_{2}(SL(2,K))\longrightarrow 0}$,

wobei ${\displaystyle \mu _{K}}$ die Einheitswurzeln in ${\displaystyle K}$ bezeichnet.^[2]

Eine unmittelbare Konsequenz ist die exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow \mu _{K}\longrightarrow H_{3}(SL(2,K))\longrightarrow B(K)\longrightarrow 0}$.

Für ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ erhält man die exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \longrightarrow H_{3}(SL(2,\mathbb {C} ))\longrightarrow B(\mathbb {C} )\longrightarrow 0}$.

Um den ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$-Summanden zu integrieren, definierte W. Neumann für ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ die erweiterte Bloch-Gruppe ${\displaystyle {\widehat {B}}(\mathbb {C} )}$. Diese ist isomorph zu ${\displaystyle H_{3}(SL(2,\mathbb {C} ))}$.

Bloch-Gruppe und Bloch-Wigner-Dilogarithmus

Der für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}}$ definierte Bloch-Wigner-Dilogarithmus

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log |z|}$

erfüllt die Funktionalgleichung

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(x)+\operatorname {D} _{2}(y)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+\operatorname {D} _{2}(1-xy)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0}$

und definiert deshalb eine wohldefinierte Abbildung

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {C} )\to \mathbb {C} }$.

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist die einzige messbare Abbildung ${\displaystyle F\colon \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}\to \mathbb {R} }$, die die Funktionalgleichung

${\displaystyle F(x)-F(y)+F\left({\frac {y}{x}}\right)-F\left({\frac {1-x^{-1}}{1-y^{-1}}}\right)+F\left({\frac {1-x}{1-y}}\right)}$

für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}}$ erfüllt. Man kann die Definition der Bloch-Gruppe also auch interpretieren als die minimale Gruppe, auf der der Bloch-Wigner-Dilogarithmus wohldefiniert ist. Verallgemeinerungen dieses Ansatzes für höhere Polylogarithmen führen zu Definitionen höherer Bloch-Gruppen.

Algebraische Eigenschaften

Wenn ${\displaystyle K}$ unendlich ist, dann hängt das Element

${\displaystyle [z]+[1-z]\in \operatorname {B} (K)}$

nicht von ${\displaystyle z\in K\setminus \left\{0,1\right\}}$ ab. Es wird mit ${\displaystyle c_{K}}$ bezeichnet und erfüllt die Relation ${\displaystyle 6c_{K}=0\in \operatorname {B} (K)}$.^[3]

Wenn ${\displaystyle K}$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist ${\displaystyle \operatorname {B} (K)}$ eine teilbare Gruppe. Weiterhin gelten dann für ${\displaystyle z\in K\setminus \left\{0,1\right\}}$ die Relationen

${\displaystyle \left[z\right]+\left[1-z\right]=0}$

${\displaystyle \left[z\right]+\left[{\frac {1}{z}}\right]=0}$

und man kann Symbole ${\displaystyle \left[0\right]=\left[1\right]=\left[\infty \right]=0}$ einführen, mit denen alle 5-Term-Relationen Gültigkeit behalten.

Insbesondere gilt ${\displaystyle c_{K}=0}$ für algebraisch abgeschlossene, unendliche Körper. Aus den obigen Relationen folgt dann ${\displaystyle \left[z\right]=\left[1-{\frac {1}{z}}\right]=\left[{\frac {1}{1-z}}\right]}$ für alle z.

Anwendungen

Bloch-Gruppe und Homologie der linearen Gruppe

Anwendung des durch die Wirkung von ${\displaystyle GL(2,K)}$ auf der projektiven Geraden ${\displaystyle P^{1}K}$ definierten kanonischen Homomorphismus ${\displaystyle C_{*}(GL(2,K))\to C_{*}(P^{1}K)}$ (siehe die geometrische Interpretation oben) liefert einen Isomorphismus^[4]

${\displaystyle H_{3}(GL(2,K))/H_{3}(GM(2,K))\cong B(K)}$,

wobei ${\displaystyle GM(2,K)\subset GL(2,K)}$ die die Gruppe der monomialen Matrizen bezeichnet.

Für größere ${\displaystyle n}$ erhält man einen Isomorphismus^[5]

${\displaystyle H_{3}(GL(n,K))/H_{3}(GM(n,K))\cong B(K)/2c_{K}}$

für das oben definierte Element ${\displaystyle c_{K}:=\left[x\right]+\left[1-x\right]\in B(K)}$ der Ordnung maximal 6.

Eine explizite Realisierung von ${\displaystyle H_{3}(SL(2,\mathbb {C} ))}$ liefert die von Neumann definierte erweiterte Bloch-Gruppe ${\displaystyle {\widehat {\operatorname {B} }}(\mathbb {C} )}$.

Bloch-Gruppe und K-Theorie

Dieselbe Abbildung induziert einen Isomorphismus

${\displaystyle \operatorname {coker} (\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K))\cong \operatorname {B} (K)/2c_{K}}$

wobei ${\displaystyle BGM(K)^{+}}$ die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum ${\displaystyle BGM(K)}$ bezeichnet.

Bezeichne ${\displaystyle K_{3}^{M}}$ die Milnorsche K-Theorie, dann hat man nach Suslin eine exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Tor} (K^{*},K^{*})^{\sim }\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} (K)\rightarrow 0}$

mit K₃(K)_ind = coker(K₃^M(K) → K₃(K)) und Tor(K^*, K^*)^~ die eindeutige nichttriviale Erweiterung von Tor(K^*, K^*) mit Z/2, oder äquivalent

${\displaystyle 0\rightarrow {\widetilde {\mu _{K}}}\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} (K)\rightarrow 0}$,

wobei ${\displaystyle \mu _{K}}$ die Gruppe der Einheitswurzeln von K und ${\displaystyle {\widetilde {\mu _{K}}}}$ die nichttriviale Erweiterung von ${\displaystyle \mu _{K}}$ mit ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (bzw. in Charakteristik 2: ${\displaystyle {\widetilde {\mu _{K}}}=\mu _{K}}$) bezeichnet.

Bloch-Gruppe und hyperbolische Geometrie

Für ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ist ${\displaystyle C_{3}(P^{1}\mathbb {C} )}$ die von den nicht-ausgearteten idealen hyperbolischen Simplizes frei erzeugte abelsche Gruppe. Das einem Simplex unter dem Isomorphismus

${\displaystyle H_{3}(C_{*}(P^{1}\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} )\cong {\mathfrak {p}}(\mathbb {C} )}$

entsprechende Element ${\displaystyle z}$ ist das Doppelverhältnis der 4 Ecken, der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ${\displaystyle D_{2}(z)}$ gibt das Volumen des idealen Simplexes.

Man kann dies verwenden zur Definition einer Invariante hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten. Sei ${\displaystyle M}$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit einer idealen Triangulierung und seien ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{r}}$ die Doppelverhältnisse der Simplizes, dann ist

${\displaystyle \left[z_{1}\right]+\ldots +\left[z_{r}\right]}$

ein Element von ${\displaystyle B(\mathbb {C} )}$ (die Dehn-Invariante ist Null) und definiert eine Invariante der Mannigfaltigkeit, aus der man unter anderem durch Anwendung des Bloch-Wigner-Dilogarithmus das hyperbolische Volumen der Mannigfaltigkeit berechnen kann.

Bloch-Gruppe und sekundäre charakteristische Klassen

Mittels der Bloch-Gruppe und des Rogers-Dilogarithmus kann man explizite Formeln für die sekundären charakteristische Klassen ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\hat {c}}_{2}}$ angeben, wobei man für den Realteil von ${\displaystyle {\hat {c}}_{2}}$ den erweiterten Rogers-Dilogarithmus und die erweiterte Bloch-Gruppe benötigt.

Literatur

• Johan Dupont, Chi Han Sah: Scissors congruences. II. J. Pure Appl. Algebra 25 (1982), no. 2, 159–195.
• Johan Dupont: Scissors congruences, group homology and characteristic classes. Nankai Tracts in Mathematics, 1. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2001. ISBN 981-02-4507-6; 981-02-4508-4
• Andrei Suslin: K₃ of a field, and the Bloch group. (Russisch, ins Englische übersetzt in: Proc. Steklov Inst. Math. 1991, no. 4, 217–239.) Galois theory, rings, algebraic groups and their applications (russisch). Trudy Mat. Inst. Steklov. 183 (1990), 180–199, 229.
• Spencer Bloch: Higher regulators, algebraic K-theory, and zeta functions of elliptic curves. CRM Monograph Series, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-2114-8

Einzelnachweise

1. ↑ Suslin, op.cit., Lemma 2.2
2. ↑ Die Folge ist eine Umformulierung eines unveröffentlichten Resultats von Bloch und Wigner, ein Beweis findet sich in Dupont-Sah, op.cit., siehe auch Dupont, op.cit., Theorem 8.19
3. ↑ Suslin, op.cit., Lemma 1.3
4. ↑ Suslin, op.cit., Theorem 2.1
5. ↑ Suslin, op.cit., Theorem 4.1