Blackwell-Girshick-Gleichung

Die Blackwell-Girshick-Gleichung ist eine Gleichung in der Stochastik, mit der sich die Varianz von zufälligen Summen von Zufallsvariablen berechnen lässt.

Sie ist nach David Blackwell und Abe Girshick benannt.

Aussage

Ist ${\displaystyle N}$ eine Zufallsvariable mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ und sind ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, die auch von ${\displaystyle N}$ unabhängig sind, und existiert für alle ${\displaystyle X_{i}}$ und ${\displaystyle N}$ das zweite Moment, dann besitzt die durch

${\displaystyle Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

definierte Zufallsvariable die Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} (X_{0}))^{2}+\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X_{0})}$.

Die Blackwell-Girshick-Gleichung lässt sich mit Hilfe der bedingten Varianz und der Varianzzerlegung herleiten. Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ auch Zufallsvariablen auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$, so kann die Herleitung schon elementar mittels der Kettenregel und der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion erfolgen.

Beispiel

Sei ${\displaystyle N}$ Poisson-verteilt zum Erwartungswert ${\displaystyle \lambda }$ und die ${\displaystyle X_{i}}$ Bernoulli-verteilt zum Parameter ${\displaystyle p}$. Dann ist

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\lambda p^{2}+\lambda p(1-p)=\lambda p}$.

Verwendung und verwandte Konzepte

Die Blackwell-Girshick-Gleichung wird in der Schadensversicherungsmathematik verwendet, um die Varianz zusammengesetzter Verteilungen wie zum Beispiel der zusammengesetzten Poisson-Verteilung zu berechnen. Ähnliche Aussagen über den Erwartungswert von zusammengesetzten Verteilungen liefert die Formel von Wald.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.