Birkhoff-Integral

Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem -endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

Definition

Es seien ein -endlicher Maßraum und ein Banachraum und eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:

  • Für eine Menge wird der Durchmesser definiert durch .
  • Für eine Menge bezeichnet die konvexe Hülle von .
  • Eine Teilmenge der -Algebra heißt abzählbare -Partition von , wenn
    • eine abzählbare Partition von ist und
    • jede Menge in endliches Maß hat, also gilt .

Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:

heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren -Partition von , wenn gilt: ist unbedingt konvergent.

Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der -Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser -Partition gesammelt:

.

Man nennt (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge von abzählbaren -Partitionen gibt mit ist unbedingt summierbar unter und zudem noch gilt

.

Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element im Durchschnitt

.

Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man

.

Vergleich mit anderen Integralbegriffen

  • Jede auf einem -endlichen Maßraum definierte Bochner-integrierbare Funktion ist auch Birkhoff-integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann überein. Es gibt jedoch Birkhoff-integrierbare Funktionen, die nicht Bochner-integrierbar sind.
  • Wird die Definition des Riemann-Integrals direkt mittels Riemann-Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert, so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion auch Bochner-integrierbar, aber dafür Birkhoff-integrierbar.
  • Ein Beispiel für eine nicht Bochner-integrierbare aber Birkhoff-integrierbare (sogar Riemann-integrierbare) Funktion ist:
Sei versehen mit der Norm , siehe allgemeiner -Raum und , wobei das Bild von unter gerade die Charakteristische Funktion von ist.
ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre auch -messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass nicht -messbar ist, denn ist nicht -fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von ist .

Eigenschaften

  • Das Birkhoff-Integral ist linear. Für zwei Birkhoff-integrierbare Funktionen und ist auch Birkhoff-integrierbar und es gilt:
.
  • Für die Birkhoff-Integrierbarkeit von gibt es eine relativ neue äquivalente Charakterisierung, siehe M. Potyrala:
ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit wenn gilt
eine abzählbare -Partition ist unbedingt summierbar unter und .
  • Es sei ein weiterer Banachraum, Birkhoff-integrierbar und ein stetiger linearer Operator. Dann ist die Verkettung eine Birkhoff-integrierbare Funktion und es gilt:
.

Literatur