Biorthogonalität

Biorthogonalität ist eine Abwandlung der bekannten Orthogonalität. Man spricht von biorthogonalen Matrizen ${\displaystyle Q_{k}\in \mathbb {C} ^{n,k}}$ und ${\displaystyle {\hat {Q}}_{k}\in \mathbb {C} ^{n,k}}$, wenn die Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen, ${\displaystyle {\hat {Q}}_{k}^{H}Q_{k}=D_{k}}$, wobei ${\displaystyle D_{k}}$ eine Diagonalmatrix bezeichnet.

Die Matrizen sind biorthonormal, wenn die Diagonalmatrix die Identität ist, also wenn ${\displaystyle {\hat {Q}}_{k}^{H}Q_{k}=I_{k}}$. Die Definitionen für Orthogonalität und Orthonormalität erhält man, indem man ${\displaystyle {\hat {Q}}_{k}=Q_{k}}$ wählt.

Biorthogonalität tritt im Kontext vom unsymmetrischen Lanczos-Verfahren und beim zweiseitigen Gram-Schmidt auf.