Binnendruck

Der Binnendruck, der von den Kohäsionskräften der Teilchen eines Gases abhängt,^[1][2] ist ein Maß für die Änderung der inneren Energie eines Gases, wenn es sich bei konstanter Temperatur ausdehnt oder zusammenzieht. Es hat dieselbe Einheit wie der Druck, die SI-Einheit ist also Pascal.

Der Binnendruck eines idealen Gases ist immer Null.

Definition

Der Binnendruck ${\displaystyle \pi _{T}}$ ist definiert als partielle Ableitung der inneren Energie ${\displaystyle U}$ nach dem Volumen bei konstanter Temperatur: ${\displaystyle \pi _{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}$

Damit kann man schreiben: ${\displaystyle \mathrm {d} U=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\mathrm {d} V=C_{V}\mathrm {d} T+\pi _{T}\mathrm {d} V}$, wobei ${\displaystyle C_{V}}$ die Wärmekapazität bei konstantem Volumen und ${\displaystyle \mathrm {d} U}$ die Änderung der inneren Energie bei Volumenänderung ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ und Temperaturänderung ${\displaystyle \mathrm {d} T}$ ist.

Es gilt zudem die Umformung: ${\displaystyle \pi _{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}$

Zusammenhang mit dem Joule-Koeffizienten

Der Joule-Koeffizient ${\displaystyle \mu _{\mathrm {J} }}$ (nicht zu verwechseln mit dem viel häufiger vorkommenden Joule-Thomson-Koeffizienten ${\displaystyle \mu _{\mathrm {JT} }}$) ist definiert durch:^[3][4][5]

${\displaystyle \mu _{\mathrm {J} }=\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{U}\ }$, also die partielle Ableitung der Temperatur nach dem Volumen (bei gleichbleibender innerer Energie).

Nach Maxwell-Beziehung#Allgemeine Maxwell-Relation gilt:${\displaystyle \ \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{U}=-\left({\frac {\partial T}{\partial U}}\right)_{V}\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}$

Daraus folgt: ${\displaystyle \mu _{\mathrm {J} }=-\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}^{-1}\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=-{\frac {\pi _{T}}{C_{V}}}}$

Wenn der Binnendruck ${\displaystyle \pi _{T}>0}$ ist, dann ist der Joule-Koeffizient ${\displaystyle \mu _{\mathrm {J} }<0}$ und somit kühlt sich das Gas bei freier Expansion ab.

Binnendruck bei einfachen Gasmodellen

Im Folgenden ist ${\displaystyle R}$ die allgemeine Gaskonstante, ${\displaystyle n}$ die Stoffmenge und ${\displaystyle \textstyle V_{\mathrm {m} }={\frac {V}{n}}}$ das molare Volumen.

Ideales Gas

Beim Modell des idealen Gases gilt:

${\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}$

Also ist ${\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}}}$ und somit:

${\displaystyle \pi _{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p=T\cdot {\frac {nR}{V}}-{\frac {nRT}{V}}=0}$

Beim idealen Gas ist der Binnendruck also immer 0, die Gasteilchen üben aufeinander keine Kräfte aus.

Van-der-Waals Gas

Beim Modell des Van-der-Waals Gases gilt:

${\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{V_{\mathrm {m} }^{2}}}}$

mit den (positiven) Van-der-Waals Konstanten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$.

Also ist ${\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {R}{V_{\mathrm {m} }-b}}\ }$ und somit:

${\displaystyle \pi _{T}=T\cdot {\frac {R}{V_{\mathrm {m} }-b}}-\left({\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{V_{\mathrm {m} }^{2}}}\right)={\frac {a}{V_{\mathrm {m} }^{2}}}\ }$ ^[6]

Beim Van-der-Waals Gas (mit ${\displaystyle a>0}$) ist der Binnendruck also immer positiv und unabhängig von der Temperatur, strebt aber für ${\displaystyle V\to \infty }$ gegen 0.

Redlich-Kwong-Modell

Beim Modell nach Redlich-Kwong gilt:

${\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{{\sqrt {T}}V_{\mathrm {m} }\left(V_{\mathrm {m} }+b\right)}}}$

Also ist

${\displaystyle \pi _{T}={\frac {3a}{2{\sqrt {T}}\;V_{\mathrm {m} }\left(V_{\mathrm {m} }+b\right)}}\ }$^[3]

Nach diesem Modell wird die Kohäsion zwischen den Teilchen bei höherer Temperatur (und damit höherer Geschwindigkeit der Teilchen) kleiner.

Siehe auch

• Gay-Lussac-Versuch

Einzelnachweise

1. ↑ Grundlagen der Physikalischen Chemie (W. Moore, D. Hummel, Verlag: Walter de Gruyter, 1986)
2. ↑ Das reale Gas (www.uni-marburg.de, abgerufen am 3. November 2016)
3. ↑ ^{a b} Physikalische Chemie (T. Engel, P. J. Reid, Verlag Pearson Deutschland GmbH, 2006), Seite 77
4. ↑ CHAPTER 10 THE JOULE AND JOULE-THOMSON EXPERIMENTS (orca.phys.uvic.ca, abgerufen am 5. November 2016)
5. ↑ Physical Chemistry (R. G. Mortimer, Academic Press, 2008)
6. ↑ siehe auch Formelsammlung (Tabelle 12, staff.mbi-berlin.de, abgerufen am 3. November 2016)