Bilipschitz-Äquivalenz

Der Begriff der Bilipschitz-Äquivalenz dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.

Definition

Eine Bijektion

${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$

zwischen metrischen Räumen ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ und ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ist eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn es eine Konstante ${\displaystyle L\geq 1}$ gibt, so dass

${\displaystyle {\frac {1}{L}}d_{1}(x,y)\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq Ld_{1}(x,y)}$

für alle ${\displaystyle x,y\in M_{1}}$ gilt.

Beispiele

• Eine lineare Abbildung ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn ${\displaystyle \det(A)\neq 0}$ gilt.
• ${\displaystyle \left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }}$ ist bilipschitz-äquivalent zur Cantormenge, die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch ${\displaystyle f((x_{n})_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}$.
• Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S₁, S₂ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ zugeordneten Cayley-Graphen sind bilipschitz-äquivalent.
• Es gibt Bilipschitz-Äquivalenzen, die keine Quasi-Isometrien sind.^[1][2]
• Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische Räume^[3] quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.^[4]

Einzelnachweise

1. ↑ D. Burago, B. Kleiner: Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi-Lipschitz maps. Geom. Funct. Anal. 8 (1998), no. 2, 273–282. online
2. ↑ T. Dymarz: Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups. Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 509–526. online
3. ↑ Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig diskret, wenn es eine Konstante ${\displaystyle r>0}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle x\not =y}$ die Ungleichung ${\displaystyle d(x,y)>r}$ gilt. Er heißt nicht-mittelbar, wenn es keine Følner-Folgen gibt.
4. ↑ K. Whyte: Amenability, bi-Lipschitz equivalence, and the von Neumann conjecture. Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, 93–112. online