Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ auf einen anderen Raum ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$ zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion ${\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega '}$ den Mengen in ${\displaystyle \Sigma '}$ Werte zugeordnet. Das so auf ${\displaystyle \Omega '}$ definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol ${\displaystyle *}$ oder ${\displaystyle \#}$ verwendet: ${\displaystyle g^{*}\mu }$, ${\displaystyle \mu \circ g^{-1}}$, ${\displaystyle g^{\#}\mu }$, ${\displaystyle g\sharp \mu }$, oder ${\displaystyle g\#\mu }$.

Definition

Es sei ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ein Maßraum und

${\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega '}$

eine ${\displaystyle \Sigma {\text{-}}\Omega '}$-messbare Funktion in einen Messraum ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$. Dann ist die Abbildung

${\displaystyle (g^{*}\mu ):=\mu \circ g^{-1}:\Sigma '\to [0,\infty ]}$

definiert durch

${\displaystyle A'\mapsto \mu (g^{-1}(A'))}$

ein Maß auf ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$, genannt das Bildmaß von ${\displaystyle \mu }$ bezüglich ${\displaystyle g}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle g^{-1}(A')}$ das Urbild von ${\displaystyle A'\in \Sigma '}$.

Transformationssatz

Für eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega '\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ (wobei ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen ${\displaystyle A\subseteq \Omega '\;}$:

${\displaystyle \int _{g^{-1}(A)}f\circ g\;\mathrm {d} \mu =\int _{A}f\;\mathrm {d} (\mu \circ g^{-1})}$,

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.^[1]

Quellen

1. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.