Bevan-Punkt

Bevan-Punkt M im Dreieck ABC

Bevan-Punkt M, Bevan-Kreis k_M, Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt G, Umkreismittelpunkt O, Inkreismittelpunkt I, Euler-Gerade e, Umkreis k_O

Der Bevan-Punkt gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als Mittelpunkt des Kreises, der durch die drei Ankreismittelpunkte des gegebenen Dreiecks geht. Die Bezeichnung Bevan-Punkt bezieht sich auf ein Problem, das der englische Mathematiker Benjamin Bevan im Jahre 1806 stellte und noch im gleichen Jahr von John Butterworth gelöst wurde.

Eigenschaften

• Die Verbindungsstrecken des Bevan-Punktes mit den Ankreismittelpunkten sind senkrecht zu den Seiten des gegebenen Dreiecks.
• Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Inkreismittelpunkt des gegebenen Dreiecks wird durch den Umkreismittelpunkt des Dreiecks halbiert.
• Der Bevan-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Longchamps-Punkt.
• Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Höhenschnittpunkt wird durch den Spieker-Punkt halbiert.
• Bevan-Punkt und Inkreismittelpunkt haben den gleichen Abstand d von der eulerschen Geraden, hierbei gilt ${\displaystyle d={\sqrt {R^{2}-{\tfrac {abc}{a+b+c}}}}}$
• Die trilinearen Koordinaten betragen ${\displaystyle (\cos \beta +\cos \gamma -\cos \alpha -1):(\cos \gamma +\cos \alpha -\cos \beta -1):(\cos \alpha +\cos \beta -\cos \gamma -1)}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein. „Bevan Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
• Alexander Bogomolny. „Bevan's Point and Theorem.“