Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x),\ \alpha \notin \lbrace 0,1\rbrace .}$

Durch die Transformation

${\displaystyle \ z(x):=(y(x))^{1-\alpha }}$

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha ){\bigl (}f(x)z(x)+g(x){\bigr )}}$

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung

Sei ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ und

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {falls}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {falls}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.}$

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x).}$

Dann ist

${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}}$

die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.}$

Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes ${\displaystyle \alpha >0}$ trivialerweise ${\displaystyle y\equiv 0}$ als Lösung für ${\displaystyle y_{0}=0}$.

Beweis

Es gilt

${\displaystyle {\begin{array}{lll}y'(x)&=&{\frac {1}{1-\alpha }}z(x)^{{\frac {1}{1-\alpha }}-1}z'(x)\\&=&{\frac {1}{1-\alpha }}z(x)^{{\frac {1}{1-\alpha }}-1}{\bigl (}(1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x){\bigr )}\\&=&f(x)z(x)^{\frac {1}{1-\alpha }}+g(x)z(x)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\\&=&f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x)\ ,\end{array}}}$

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=ay(x)-by^{2}(x),\ y(0)=y_{0}>0,\ a,b>0}$

ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit ${\displaystyle \alpha =2}$. Löst man daher

${\displaystyle z'(x)=-az(x)+b\ ,\ z(0)={\frac {1}{y_{0}}},}$

ergibt sich

${\displaystyle z(x)={\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{y_{0}}}-{\frac {b}{a}}\right)e^{-ax}.}$

Da ${\displaystyle z(x)>0}$ für alle ${\displaystyle x>x^{-}}$ mit

${\displaystyle x^{-}:=\left\{{\begin{array}{ll}-\infty \ ,&{\textrm {falls}}\ a\geq by_{0},\\{\frac {1}{a}}\ln(1-{\frac {a}{by_{0}}})\ ,&{\textrm {falls}}\ a<by_{0},\\\end{array}}\right.}$

ist

${\displaystyle y(x):={\frac {1}{z(x)}}={\frac {1}{{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{y_{0}}}-{\frac {b}{a}}\right)e^{-ax}}}}$

die Lösung obiger Gleichung auf ${\displaystyle (x^{-},\infty )}$.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7